Практика 7 и 8 (неделя с 5 по 11 октября).

Задача 58. Решить систему уравнений   

Решение. Составим расширенную матрицу.

 

Получили эквивалентную систему: 

, из последнего уравнения, очевидно, ,

тогда из предпоследнего , и из 1-го . 

Ответ. . 

 

Задача 59. Решить систему уравнений   

Решение. Во-первых, можно всё 2-е уравнение сократить на 2, так удобнее для решения, числа будут меньше. Затем обнуляем ниже углового элемента: вычитаем из 2-го уравнения удвоенное 1-е, а также 3-го 1-е.

 =

 треугольная структура уже получилась.

Перепишем снова в виде системы:

из 3-го уравнения , подставляем во 2-е, там получается .

А из 1-го .

Ответ. , , .

 

 

Неопределённые системы ().

Задача 60. Решить неоднородную систему   

Решение. Запишем расширенную матрицу, вычтем из 2-й строки 1-ю.

Здесь всего две строки, так что метод Гаусса проводится достаточно коротко.

Видим, что базисный минор можно выбрать в первых двух столбцах. Получается, что 3-я переменная свободная. Перепишем снова в виде системы, а не матрицы.

 переносим  вправо:

Выражаем , а затем поднимаемся в 1-е уравнение и ,через константы и . Впрочем,  фактически и так уже выражено:

. Подставим это выражение в 1-е уравнение

, тогда

общее решение системы:

Также записывается в виде вектора: .

Задавая какое-либо значение , всякий раз можем вычислить остальные переменные, и получить тройку чисел. Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2)...  их бесконечно много.

Ответ. Общее решение .

Заметим, что разности любых двух частных решений здесь пропорциональны вектору .

Задача 61. Решить систему уравнений  .

Решение. Запишем расширенную матрицу и преобразуем её методом Гаусса:

.

Из 2-й строки отняли 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю. Замечаем, что 2 и 3 строка одинаковы, вычитаем из 3-й 2-ю, и 3-я строка получилась состоящей из 0. Это уравнение 0 = 0, очевидно, его можно вычеркнуть. Базисный минор 2 порядка можно найти в левом верхнем углу. Здесь m = 3, n = 4, r = 2.

Обратите внимание. Типичной и характерной ошибкой является то, что вычёркивают обе пропорциональных строки, а не одну. Но если провести алгоритм Гаусса до конца, то видно, что одна из них остаётся и несёт содержательную информацию, а её копия лишняя, она обратилась в 0. Не нужно торопиться и вычёркивать все пропорциональные строки, ведь хотя бы одна из них не лишняя!

Развернём две оставшихся строки снова в систему уравнений:

  

Здесь перенесём  вправо, 3-я переменная - свободная, базисный минор в левом углу. Замечание. Впрочем, это не единственный вариант: базисный минор можно составить из фрагментов 1 и 3 столбца, тогда  была бы свободная. Итак, перенесём  :

 Основная матрица системы фактически стала квадратной, 2 порядка, т.е. множество коэффициентов при базисных переменных образует такую квадратную матрицу: .

Просто справа при этом не только константы, а составные выражения из констант и каких-то параметров. Видно, что  уже и так выражена, . Подставим это выражение в 1-е уравнение, чтобы выразить отдельно  через .

 в итоге . Итак,  - общее решение. В нём есть один свободный параметр .

Его можно записать также и в виде такого вектора: .

Если задавать любое , будет получать тройки чисел, которые служат частными решениями.

Например, при  = 1 получим (1,1,1). При  = 0 получим (0,3,0). Частных решений бесконечно много.

Ответ. Общее решение .

Домашняя задача. Решить неоднородную систему

Ответ. Общее решение .

Задача 62. Решить неоднородную систему.

Решение. Построим и преобразуем расширенную матрицу.

Базисный минор в первых двух столбцах, последние две переменные свободные, переносим их вправо.

Отсюда . Тогда  =

 =  =

.

Ответ. Общее решение:  , .

 

 

Задача 63. Решить неоднородную систему

Решение. Запишем расширенную матрицу системы. 

обнулим всё ниже углового элемента, для этого:

из 2-й строки вычтем 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю, из 4-й 1-ю, домноженную на 4.

теперь можно поменять местами 2 и 3 строки, а также домножить на   три последних уравнения (там почти везде были знаки минус)

 

затем из 4-й строки вычитаем 2-ю, чтобы продолжить стандартную процедуру метода Гаусса, потом видим что 3-я и 4-я стали одинаковы, тогда из 4-й вычитаем 3-ю. Получается, что 4-е уравнение 0 = 0.

 

Итак, осталось 3 уравнения, базисный минор легко заметить в первых трёх столбцах (там треугольная структура матрицы, и этот определитель явно отличен от 0). 4-й столбец не входит в базисный минор, то есть 4-я переменная свободная, т.е. когда будем записывать систему, переносим её через знак равенства во всех уравнениях.

Из последнего уравнения , подставляя это выражение во 2-е уравнение, выразим .  =  ,

. Далее из 1-го уравнения:

 = ,

. Итак, общее решение:

, , .

Можно записать в виде вектора: .

Если задать, например,  получим частное решение: .

Ответ.  Общее решение: .