Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Ранг матрицы, теоремы о ранге.
Выберем в матрице А =aij размерности m n произвольные к строк и к столбцов, где 1 ≤ к ≤ min {m, n}. Определитель к-го порядка, составленный из элементов этой матрицы, расположенных на пересечении выделенных к строк и к столбцов, называется минором Мк к-го порядка матрицы А. Минорами первого порядка являются сами элементы матрицы А, а их число равно mn. Если матрица нулевая, то все ее возможные миноры равны нулю. Если все миноры некоторого порядка данной матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, то данное определение не позволяет говорить о ее ранге. По определению полагают, что ранг нулевой матрицы равен нулю. Если матрица имеет хотя бы один отличный от нуля элемент, то r ≥ 1. Тогда ясно, что только нулевая матрица имеет ранг, равный нулю. Пусть Мк – главный (угловой) минор матрицы А порядка к. Любой минор (к + 1)-го порядка вида М (k+1)= получающийся из Мк добавлением элементов i-й строки и j-го столбца, называется окаймляющим для минора Мк. Справедлива теорема: если какой-нибудь угловой минор r-го порядка матрицы А отличен от нуля, а все миноры (r + 1)-го порядка, его окаймляющие, равны нулю, то ранг матрицы равен r. Из этой теоремы получаем следующий способ вычисления ранга матрицы: при вычислении ранга следует переходить от миноров меньших порядков к минорам высших порядков; если при этом окажется, что какой-то минор Мr отличен от нуля, а все окаймляющие миноры Мк+1 равны нулю, то ранг матрицы равен r. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) перестановка местами любых двух строк; 2) умножение любой строки на произвольное отличное от нуля число; 3) прибавление к любой строке всякой другой строки, умноженное на не- которое число; 4) аналогичные преобразования столбцов матрицы. Справедлива теорема: при элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется. Тогда при вычислении ранга матрицы можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть, отбросить): 1) нулевые строки; 2) одну из двух равных строк; 3) одну из двух пропорциональных строк; 4) строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк. Обычно, отбрасывая нулевые строки и столбцы, матрицу А = (аij) приводят к трапецоидальной форме или треугольной форме, если все элементы b11, b22, …, brr этих двух матриц отличны от нуля, то их ранги равны числу r.
Критерий совместности системы(теорема Кронекера-Капелли). Под расширенной матрицей системы будем понимать матрицу, включающую в себя столбец свободных членов (после черты). В результате элементарных преобразований строк расширенная матрица приводится к одному из трех случаев: В первом случае система имеет единственное решение. Во втором случае система уравнений имеет бесконечное множество решений и в третьем она несовместна. Установить, совместна ли система или несовместна (без нахождения ее решений) позволяет теорема Кронекера-Капелли: необходимым и достаточным условием совместности системы (1) является условие равенства рангов матрицы А системы и расширенной матрицы А(с черт): r(A) = r(Ас черт). Так как теорема дает необходимое и достаточное условие совместности системы, то ее называют критерием совместности системы линейных уравнений. Заметим, что либо r(А с черт) = r(A), либо r(А счерт) = r(A) + 1. Если r(А с черт) > r(A), то система (1) противоречива. 1) если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение; 2) если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна и решения не существует.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-10-24; просмотров: 129; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.27.202 (0.006 с.) |