Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Исследование систем методом Гаусса.
-метод последовательного исключения неизвестных. Предположим, что в системе какой-нибудь коэффициент при х1 отличен от нуля. Без ограничения общности можно считать, что а11≠ 0. В этом случае коэффициент а11 называется разрешающим или ведущим элементом. Первое уравнение называется разрешающим, а первый столбец – разрешающим столбцом. При первой шаге из всех последующих уравнений исключается неизвестной х1. Далее, если во втором уравнении а22*≠ 0, то этот элемент объявляем разрешающим. Выполняем действия второго этапа. Первое и второе уравнения преобразованной системы оставляем неизменными. У всех остальных уравнений исключаем неизвестное х2. И так далее.
Здесь а11, а22*, …, аrr* не равны нулю. При этом r ≤ m и r ≤ n. Переход от системы (1) к системе (2) называют прямым ходом метода Гаусса. Систему линейных уравнений вида (2) называют ступенчатой системой. Если r<n, то она имеет трапецоидальный вид. Если r = n, то получим следующую треугольную систему:
Матрица системы (3) имеет треугольный вид (при этом а11 ≠ 0, а22* ≠ 0, …, аrr* ≠ 0). Пусть r = n, т.е. преобразованная система имеет треугольную форму (3). Тогда система (1) совместна и определенна. Единственное решение этой системы находится следующим образом. Из последнего уравнения находим вполне определенное значение хn: xn = (a*nn≠0) Подставляя это хn в предпоследнее уравнение системы (3), найдем конкретное значение хn – 1. Пусть теперь r < n, т.е. система имеет трапецоидальный вид. Тогда она имеет бесконечное множество решений В общем случае разрешающим может быть любой элемент ask ≠ 0. Тогда к системам вида (2) или (3) можно перейти лишь после надлежащего изменения нумерации неизвестных и уравнений. Для нахождения же самого решения исходной системы эта нумерация не нужна. Однородная система треугольного вида всегда совместна. Если в посл системе m < n, то помимо очевидного (тривиального) решения, она имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Если m = n, то решение либо единственно (это нулевое решение), либо их бесчисленное множество.
Метод Крамера Система линейных алгебраических уравнений называется крамеровской, если число m уравнений совпадает с числом n неизвестных и определитель ∆(А) квадратной матрицы А данной системы отличен от нуля. Определитель ∆(А), называемый определителем системы, имеет вид
= (1) Каждая крамеровская система линейных уравнений совместна и определенна, т.е. имеет единственное решение, которое определяется формулами Крамера
x1 = ,…,xj= ,…,xn=
Здесь Δj (j = 1, …, n) есть определитель, получающийся из определителя (1) системы путем замены его j – го столбца столбцом из свободных членов система. Если Δ = 0 и хотя бы один из определителей Δj не равен нулю, то система не совместна. Если Δ = 0 и все определители Δj равны нулю, то система может быть совместной (тогда она имеет бесконечно много различных решений) или несовместной. Для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера нужно вычислить определители Δ,Δ x1, Δ x2, Δ x3, где Δ – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, Δ x1, Δ x2, Δ x3 получены из Δ заменой столбцов коэффициентов при x1, x2, x3 соответственно на столбец свободных членов. При этом, если 1) Δ не= 0, система имеет единственное решение 2) Δ = Δ x1= Δ x2= Δ x3=0, система несовместна или имеет бесконечное множество решений; 3) Δ =0 и хотя бы один из Δ x1, Δ x2, Δ x3 отличен от нуля, система несовместна.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-10-24; просмотров: 57; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.191.169 (0.006 с.) |