Миноры и алгебраические дополнения элементов.

Определители n -го порядка

Определители квадратных матриц второго и высшего порядков вычисляются  методом разложения определителя по элементам строки (столбца). Для этого вводятся понятие минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Минором Мij элемента аij квадратной матрицы А порядка n ≥ 2 называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из элементов матрицы А (без изменения их распо ложения) путем вычеркивания i –й строки и j – го столбца, на пересечении которых

находится элемент аij

Алгебраическим дополнением (адъюнктом) Аij элемента аij называется число, определяемое равенством Аij = (-1)^i+jMij.      

Тогда определители второго и третьего порядков вычисляются методом разложения по элементам какой-нибудь строки (какого-нибудь столбца).

Например:  = а11 А11 + а12А12

вычисление определителя второго порядка сведется к вычислению определителей

первого порядка, а вычисление определителя третьего порядка – к вычислению определителей второго порядка.

Определитель n-го порядка введем по определению как разложение по элементам первой строки:

=  =a11A11+…+a1nA1n

Формула позволяет вычислить определитель n-го порядка через определители (n-1)-го порядка, постепенно снижая порядок до вычисления определителей второго порядка.

Доказывается, что определитель n-го порядка можно вычислять разложением поэлементам любой его строки (любого его столбца). На практике надо вычислять определитель разложением по элементам той строки (того столбца), в которой (в котором) имеется больше всего нулей, т.к. это позволяет не вычислять миноры Мij тех элементов аij, которые равны нулю.

 

 

Свойства определителей

Свойство 1.

Определитель не меняется при транспонировании, т.е. Δ(А)= Δ(А^T).

Свойство 2.

При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.(Для определителей 3го порядка свойство можно доказать непосредственным применением правила треугольника.)

Свойство 3.

(для определителей 2го и 3го порядка). Определитель n-го порядка = сумме произведений элементов любой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

= ai1 Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,…,n)

Свойство 4.

 Определитель у которого две строки одинаковы = 0.

Свойство5.

Если все элементы какой-либо строки определителя = 0, то и определитель =0.(Это св-во вытекает из свойства 3, только нужно разложить этот определитель по элементам его нулевой строки.)

Свойство6.

Если все элементы какой-нибудь строки определителя умножить на одно и то же число альфа, то значение определителя умножится на это число.

Свойство7.

Определитель у которого элементы 2х строк соответственно пропорциональны = 0.

Свойство8.

 Пусть каждый элемент i-ой строки определителя есть сумма 2х слагаемых:

Aij = bj + cj (j=1,…,n)

Тогда заданный определитель = сумме 2х определителей: у одного из них i-ая строка состоит из элементов bj, а у другого- из элементов cj; все остальные строки этих 2х опред-й, кроме i-ой, имеют такие же элементы, как и исходный определитель

Свойство9.

Определитель не изм-ся, если к элементам какой-нибудь строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Свойство10.

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки = 0, т.е.

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 (i≠j)

Доказательство. Пусть Δ(А) - определитель квадратной матрицы А. Заменим в матрице А j-ю строчку её i-ой строчкой, а все остальные строки, включая i-ю, оставим без изменения. В результате получим новую матрицу В, у которой i-я и j-я строки совпадают. По свойству 4 опр-ль этой матр =0: Δ(В)=0. Теперь вычислим определитель матрицы В разложением по элементам j-ой строки. При этом учтем, что миноры элементов j-й строки матрицы В совпадают с минорами соответствующих элементов j-й строки матрицы А. Тогда совпадают и алгебр дополнения элементов j-й строки матриц А и В. В результате получим:

Δ(B) = ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn

Отсюда получаем 1е, т.к. ранее установлено, что Δ(В)=0.

Теорема. Определитель произведения 2х матриц n-го порядка = произведению определителей этих матриц: Δ(АВ)= Δ(А)* Δ(В).

 

Алгоритм Гаусса

Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.

Преобразование первого рода: две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов одной из строк изменяются на противоположные.

Преобразование второго рода: к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на произвольное число.

Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов, а ранг - числу ненулевых строк

  Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:

ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;

 используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент ak1/a11.

переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.