Общие сведения о сист лин алг уравн

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные х1, …, хn в первой степени и не содержит произведений неизвестных. Такое уравнение имеет вид:

a1 x1+…+ a1n Xn =b

Здесь а1, …, аn, b– некоторые действительные числа. Числа а1, …, аn называются коэффициентами уравнения, число b – свободным членом (правой частью) уравнения.

Система m линейных уравнений с n неизвестными записывается следующим образом:

 

 

В этой записи хi (i = 1,…, n) – неизвестные, числа aij (i = 1, …,m; j = 1, …,n) называются коэффициентами системы, а числа bi (i = 1, …, m) – свободными членами системы (правыми частями).

Решением системы уравнений называется такая совокупность из n чисел α1, …, αn, что каждое из уравнений системы обращается в тождество после замены не- известных xi соответствующими числами αi. Набор чисел α1, …, αn записывается в виде (α1, …, αn) и называется X – мерным вектором

Система называется неоднородной, если не все правые части bi равны нулю. Система, полученная из 1й системы заменой всех правых частей нулями, называется ее приведенной однородной системой.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной (противоречивой).

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений больше одного.

Система линейных уравнений, в которой все свободные члены равны нулю, называется однородной линейной системой алгебраических уравнений. Она имеет следующий вид:

Матрица А = (аij)m×n, составленная из коэффициентов системы (1), называется матрицей системы, а матрица

A(вектор)=

составленная из коэффициентов аij c добавленным столбцом из свободных членов bi системы (1), называется расширенной матрицей системы.

Две системы линейных алгебраических уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными (эквивалентными), если они либо обе несовместны, либо обе совместны и обладают одними и теми же решениями (множества их решений совпадают).

 

7. Элементарные преобразования систем. Теорема о равносильности систем при элементарных преобразованиях.

Две системы лин алг уравнений с одними и теми же неизв называются равносильными(эквивалентными),если они:1-либо обе несовместны(нет реш),2-либо совместны и обладают одними и теми же решениями(множ-во их реш совпадают).Кол-во уравнений в равносильных с-мах может быть различным.

С помощью элементарных преобразований система линейных уравнений преобразуется в равносильную.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют следующие преобразования:

1) перестановка местами любых двух уравнений системы;

2) умножение любого уравнения системы на отличное от нуля число;

3) прибавление к любому уравнению системы всякого другого уравнения, умноженного на некоторое число.

Справедливо утверждение(теорема): при элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную ей систему.

Если в ур-ии свободный член

b = 0, то такому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестных. Отбрасывая такие уравнения, получаем систему, равносильную исходной. Если b ≠ 0, то уравнение противоречиво; тогда и исходная система противоречива (не имеет решений).