Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть имеется нормально распределенная случайная величина x,, определенная на множестве объектов некоторой генеральной совокупности. Известно, что D x = s ². Математическое ожидание M x неизвестно. Допустим, что имеются основания предполагать, что M x = a, где a – некоторое число (такими основаниями могут быть ограниченные сведения об объектах генеральной совокупности, опыт исследования подобных совокупностей и т. д.). Будем считать также, что имеется другая информация, указывающая на то, что M x = a ₁, где a ₁ > a.

I. Выдвигаем нулевую гипотезу H ₀: M x = a;

при конкурирующей гипотезе H ₁: M x = a ₁.

Делаем выборку объема n: x ₁, x ₂,..., x_n . В основе проверки лежит тот факт, что случайная величина  (выборочная средняя) распределена по нормальному закону с дисперсией s ²/ n и математическим ожиданием, равным a в случае справедливости H ₀, и равным a ₁ в случае справедливости H ₁.

Очевидно, что если величина оказывается достаточно малой, то это дает основание предпочесть гипотезу H ₀ гипотезе H ₁. При достаточно большом значении  более вероятна справедливость гипотезы H ₁. Задачу можно было бы поставить так: требуется найти некоторое критическое число, которое разбивало бы все возможные значения выборочной средней (в условиях данной задачи это все действительные числа) на два полубесконечных промежутка. При попадании  в левый промежуток следовало бы принимать гипотезу H ₀, а при попадании  в правый промежуток предпочтение следовало бы оказать гипотезе H ₁. Однако на самом деле поступают несколько иначе.

В качестве статистического критерия выбирается случайная величина

                                                  ,

распределенная по нормальному закону, причем Mz = 0 и Dz = 1 (это следует из свойств математического ожидания и дисперсии) в случае справедливости гипотезы H ₀. Если справедлива гипотеза H ₁, то
  Mz = a * = (a ₁ – a) /s, Dz = 1.

На рисунке 1. изображены графики p ₀(z) и p ₁(z) – функций плотности рас­пре­деления случайной величины z при спра­ведливости гипотез H ₀ и H ₁, соответственно.

Если величина , полученная из вы­борочных данных, относительно велика, то и величина z велика, что является свидетельством в пользу гипотезы H ₁. Относительно малые значения  приводят к малым значениям z, что свидетельствует в пользу гипотезы H ₀. Отсюда следует, что должна быть выбрана правосторонняя критическая область. По принятому уровню значимости a (например a = 0,05), используя то, что случайная величина z распределена по нормальному закону, определим значение K _кр из формулы

                        a = P (K _кр < z < ¥) = F(¥) – F(K _кр) = 0,5 – F(K _кр).

Отсюда , и осталось воспользоваться таблицей функции Лапласа для нахождения числа K _кр.

Если величина z, полученная при выборочном значении , попадает в область принятия гипотезы (z < K _кр), то гипотеза H ₀ принимается (делается вывод, что выборочные данные не противоречат гипотезе H ₀). Если величина z попадает в критическую область, то гипотеза H ₀ отвергается.

В данной задаче может быть подсчитана мощность критерия:

                                  

Мощность критерия тем больше, чем больше разность a ₁– a.

II. Если в предыдущей задаче поставить другое условие:

H ₀: M x = a;

H ₁: M x = a ₁ , a ₁ < a,

то сохранив смысл всех рассуждений, здесь придется рассматривать левостороннюю критическую область, как изображено на рисунке 2. Здесь, как и в предыдущем случае,

 

 

a * = (a ₁ – a) /s, а величина K _кр  определяется из формулы

 

a = P (–¥ < z < K _кр) = F(K _кр) –F(–¥) = F(K _кр) +  .

Используя формулу –F(K _кр) = F(– K _кр), получаем:

                                                 F(– K _кр) = .

Отметим, что по смыслу задачи здесь K _кр – отрицательное число.

Значения z, вычисленные по выборочным данным, превышающие K _кр, согласуются с гипотезой H ₀. Если величина z попадает в критическую область (z < K _кр), то гипотезу H ₀ следует отвергнуть, считая предпочтительной гипотезу H ₁.

III. Рассмотрим теперь такую задачу:

H ₀: M x = a;

H ₁: M x ¹ a.

В данном случае большие отклонения величины z от нуля в положительную или отрицательную сторону должны приводить к заключению о ложности гипотезы H ₀, то есть здесь следует рассматривать двустороннюю критическую область, как изображено на рисунке 3.

Критическое значение K _кр определяется с помощью соотношения

                 P (– K _кр < z < K _кр) = 1 – a = F(K _кр) –F(– K _кр) = 2F(K _кр).

Из этого соотношения следует:F(K _кр) =