Тема 2.1. Выборки и их характеристики

Тема 2.1. Выборки и их характеристики

1. Предмет и задачи математической статистики.

2. Генеральная и выборочная совокупности.

3. Статистическое распределение выборки.

4. Эмпирическая функция распределения.

5. Графическое изображение статистического распределения.

6. Числовые характеристики статистического распределения.

7. Корреляционный анализ выборочной совокупности (оценка выборочного корреляционного момента системы двух случайных величин; регрессионный анализ двух случайных величин).

Математическая статистика является частью общей при­кладной математической дисциплины “Теория вероятностей и математическая статистика”, однако задачи, решаемые ею, но­сят специфический характер. Если теория вероятностей иссле­дует Явления, полностью заданные их моделью, то в математи­ческой статистике вероятностная модель определена с точно­стью до неизвестных параметров. Отсутствие сведений о па­раметрах компенсируется “пробными” испытаниями, на основе которых и восстанавливается недостающая информация. Цель математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Первой задачей математической статистики является ука­зание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюде­ний.      

Вторая задача — это разработка методов анализа стати­стических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зависи­мости случайной величины от других случайных величин; про­верка статистических гипотез о виде и величинах параметров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из этих вопросов.

Выборки

На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К то­му же если эта совокупность содержит большое число объек­тов или исследование объекта требует нарушения его функци­онального стандарта, то сплошное исследование нереально. В таких случаях из всей совокупности случайно отбирают огра­ниченное число объектов и подвергают их исследованию.

Введем основные понятия, связанные с выборками.

  Ге­неральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборочной совокупно­стью(выборкой) называется совокупность случайно отобран­ных объектов из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N = 2000, а объем выборки п = 100.

Выборку можно осуществлять двумя способами. Если после исследования объект из выборки возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной; если объект не возвращается в генеральную совокупность, то вы­борка называется бесповторной.

Выборка называется репрезентативной (представитель­ной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности.

Способы отбора

Различают два способа отбора: без расчленения генераль­ной совокупности на части и с расчленением.

К первому отно­сятся простые случайные отборы (либо повторный, либо бесповторный), когда объекты извлекают по одному из всей гене­ральной совокупности; такой отбор можно производить с ис­пользованием таблицы случайных чисел.

Второй способ отбора включает следующие разновидности, соответствующие способам расчленения генеральной совокуп­ности.

Отбор, при котором объекты отбираются из каждой “ти­пической ” части генеральной совокупности, называется типи­ческим. Например, отбор деталей из продукции каждого стан­ка, а не из их общего количества является типическим.

Если генеральную совокупность делят на число групп, равное объ­ему выборки, с последующим отбором из каждой группы по одному объекту, то такой отбор называется механическим.

Се­рийным называется отбор, при котором объекты отбираются не по одному, а сериями; этот способ используется, когда исследу­емый признак имеет незначительные колебания в различных сериях.

На практике часто употребляется комбинирование указан­ных выше способов отбора. Например, генеральную совокуп­ность разбивают на серии одинакового объема, затем случай­ным образом отбирают несколько серий и в завершение слу­чайным извлечением отдельных объектов составляют выборку. Конкретная комбинация способов отбора объектов из генераль­ной совокупности определяется требованием репрезентативно­сти выборки.

Таким образом на выборку будем смотреть как на совокупность независимых случайных величин x ₁, x ₂,..., x _n, распределенных так же, как и случайная величина x, представляющая генеральную совокупность. Выборочные значения x ₁, x ₂,..., x_n – это значения, которые приняли эти случайные величины в результате 1-го, 2-го,..., n -го эксперимента.

Полигон и гистограмма

Каждую пару значений (х _i, n_i) из распределения выбор­ки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точно так же можно рассматривать и пары значений (x_i, Wi) относительного распределения выборки.                       Ломаная, отрезки ко­торой соединяют точки (х _i, n_i), называется полигоном частот.

Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки (x_i, Wi), называется полигоном относительных частот. На рис. 15.9 показан полигон относительных частот для распре­деления, приведенного в примере 2.

Для случая непрерывного признака X удобно разбить ин­тервал (x_min, x_max) его наблюдаемых значений на несколько ча­стичных интервалов длиной h каждый и найти для каждого из этих интервалов сумму частот n_j, попавших в него.

Сту­пенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основания­ми длиной h и высотами n_j / h (плотность частоты), называет­ся гистограммой частот. Геометрический смысл гистограммы: нетрудно видеть, что площадь ее равна сумме всех частот или объему выборки. На рис. 15.10 изображена гистограмма объе­ма п = 100.

 Аналогичным образом определяется и гистограмма отно­сительных частот; в этом случае высоты прямоугольников, составляющих ступенчатую фигуру, определяются отноше­ниями сумм относительных частот, попадающих в интервал  к длине интервала h, т.е. вели­чинами Wj / h. Нетрудно видеть, что площадь гистограммы относительных частот равна единице (сумме относительных частот выборки).

Выборочную дисперсию

                            

можно считать точечной оценкой дисперсии D x генеральной совокупности.

Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными признаками x и y. Например, деталь может иметь два размера – длину и ширину. Можно в различных районах измерять концентрацию вредных веществ в воздухе и фиксировать количество легочных заболеваний населения в месяц. Можно через равные промежутки времени сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величину x, h. Эта случайная величина принимает значения x, y на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин x и h, мы не можем говорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.

Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где
  i -тый отобранный объект (i = 1,2,... n)представлен парой чисел x_i, y_i:

x 1	x 2	...	xn
y 1	y 2	...	yn

3.Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

                                                  

Здесь

                    , ,

                                   .

Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции r _{x h}, характеризующего генеральную совокупность.

Выборочные параметры  или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.

Пусть выборочный параметр d рассматривается как выборочная оценка параметра D генеральной совокупности и при этом выполняется равенство

                                                           M d = D.

Интервальные оценки.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.

Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности (или случайной величины x, определенной на множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот параметр через D. По сделанной выборке по определенным правилам найдем числа D ₁ и D ₂, так чтобы выполнялось условие: 

     P (D ₁ < D < D ₂) =P (D Î (D ₁; D ₂)) = g

Числа D ₁ и D ₂ называются доверительными границами, интервал (D ₁, D ₂) — доверительным интервалом для параметра D. Число g называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.

Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95, 0.99 или 0.999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в интервал (D ₁, D ₂) достаточно высока. Число (D ₁ + D ₂) / 2 – середина доверительного интервала – будет давать значение параметра D с точностью (D ₂ – D ₁) / 2, которая представляет собой половину длины доверительного интервала.

Границы D ₁ и D ₂ определяются из выборочных данных и являются функциями от случайных величин x ₁, x ₂,..., x _n , а следовательно – сами случайные величины. Отсюда – доверительный интервал (D ₁, D ₂) тоже случаен. Он может покрывать параметр D или нет. Именно в таком смысле нужно понимать случайное событие, заключающееся в том, что доверительный интервал покрывает число D.

Тема 2.1. Выборки и их характеристики

1. Предмет и задачи математической статистики.

2. Генеральная и выборочная совокупности.

3. Статистическое распределение выборки.

4. Эмпирическая функция распределения.

5. Графическое изображение статистического распределения.

6. Числовые характеристики статистического распределения.

7. Корреляционный анализ выборочной совокупности (оценка выборочного корреляционного момента системы двух случайных величин; регрессионный анализ двух случайных величин).

Математическая статистика является частью общей при­кладной математической дисциплины “Теория вероятностей и математическая статистика”, однако задачи, решаемые ею, но­сят специфический характер. Если теория вероятностей иссле­дует Явления, полностью заданные их моделью, то в математи­ческой статистике вероятностная модель определена с точно­стью до неизвестных параметров. Отсутствие сведений о па­раметрах компенсируется “пробными” испытаниями, на основе которых и восстанавливается недостающая информация. Цель математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Первой задачей математической статистики является ука­зание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюде­ний.      

Вторая задача — это разработка методов анализа стати­стических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зависи­мости случайной величины от других случайных величин; про­верка статистических гипотез о виде и величинах параметров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из этих вопросов.

Выборки

На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К то­му же если эта совокупность содержит большое число объек­тов или исследование объекта требует нарушения его функци­онального стандарта, то сплошное исследование нереально. В таких случаях из всей совокупности случайно отбирают огра­ниченное число объектов и подвергают их исследованию.

Введем основные понятия, связанные с выборками.

  Ге­неральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборочной совокупно­стью(выборкой) называется совокупность случайно отобран­ных объектов из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N = 2000, а объем выборки п = 100.

Выборку можно осуществлять двумя способами. Если после исследования объект из выборки возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной; если объект не возвращается в генеральную совокупность, то вы­борка называется бесповторной.

Выборка называется репрезентативной (представитель­ной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности.

Способы отбора

Различают два способа отбора: без расчленения генераль­ной совокупности на части и с расчленением.

К первому отно­сятся простые случайные отборы (либо повторный, либо бесповторный), когда объекты извлекают по одному из всей гене­ральной совокупности; такой отбор можно производить с ис­пользованием таблицы случайных чисел.

Второй способ отбора включает следующие разновидности, соответствующие способам расчленения генеральной совокуп­ности.

Отбор, при котором объекты отбираются из каждой “ти­пической ” части генеральной совокупности, называется типи­ческим. Например, отбор деталей из продукции каждого стан­ка, а не из их общего количества является типическим.

Если генеральную совокупность делят на число групп, равное объ­ему выборки, с последующим отбором из каждой группы по одному объекту, то такой отбор называется механическим.

Се­рийным называется отбор, при котором объекты отбираются не по одному, а сериями; этот способ используется, когда исследу­емый признак имеет незначительные колебания в различных сериях.

На практике часто употребляется комбинирование указан­ных выше способов отбора. Например, генеральную совокуп­ность разбивают на серии одинакового объема, затем случай­ным образом отбирают несколько серий и в завершение слу­чайным извлечением отдельных объектов составляют выборку. Конкретная комбинация способов отбора объектов из генераль­ной совокупности определяется требованием репрезентативно­сти выборки.

Таким образом на выборку будем смотреть как на совокупность независимых случайных величин x ₁, x ₂,..., x _n, распределенных так же, как и случайная величина x, представляющая генеральную совокупность. Выборочные значения x ₁, x ₂,..., x_n – это значения, которые приняли эти случайные величины в результате 1-го, 2-го,..., n -го эксперимента.