Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п, в которой значение х₁ некоторого исследуемого признака X наблюдалось n₁ раз, значение х₂ – n₂ раз,..., зна­чение х_к – n_k  раз.                                                                           Значения x_i называются вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке, — вариационным рядом.                                      Числа n_i называются частотами, а их отношения к объему выборки

(15.47) — относительными частотами.                       При этом

Если промежуток между наименьшим и наибольшим значениями признака в выборке разбить на несколько интервалов одинаковой длины, каждому интервалу поставить в соответствие число выборочных значений признака, попавших в этот интервал, то получим интервальный вариационный ряд. Если признак может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть является непрерывной случайной величиной, приходится выборку представлять именно таким рядом. Если в вариационном интервальном ряду каждый интервал [ a _i; a _{i+ 1}) заменить лежащим в его середине числом (a _i + a _{i+ 1})/2, то получим дискретный вариационный ряд. Такая замена вполне естественна, так как, например, при измерении размера детали с точностью до одного миллиметра всем размерам из промежутка [49,5; 50,5), будет соответствовать одно число, равное 50.

Модой М₀ называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

Ме­дианой т_е называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Ес­ли число вариант нечетно, т.е.  если же число    вариант четно (к = 2 l), то .

Разма­хом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому при­надлежат все варианты выборки:

(15.48)

Перечень вариант и соответствующих им частот называ­ется статистическим распределением выборки. Здесь имеет­ся аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностей — это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в ма­тематической статистике — это соответствие между наблюда­емыми вариантами и их частотами (относительными частота­ми). Нетрудно видеть, что сумма относительных частот равна единице:

Пример 2. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот и основные харак­теристики вариационного ряда.

Решение. Найдем объем выборки: п = 2+4+5+6+3 = 20. Относительные частоты соответственно равны W ₁ = 2/20 = = 0,1; W ₂ = 4/20 = 0,2; W₃ = 5/20 = 0,25; W ₄ = 6/20 = 0,3; W ₅ = 3/20 = 0,15. Контроль: 0,1 + 0,2 + 0,25 + 0,3 + 0,15 = 1. Искомое распределение относительных частот имеет вид

Мода этого вариационного ряда равна 12. Число вариант н данном случае нечетно: k = 2*2 + 1, поэтому медиана т_е = x _{3 =} 8.

Размах варьирования, согласно формуле (15.48), R = 17-4 = 13.