Этот критерий называют еще критерием согласия (имеется в виду согласие принятой гипотезы с результатами, полученными из выборки).

Гипотезу, выдвинутую для проверки ее согласия с выборочными данными, называют нулевой гипотезой и обозначают H ₀. Вместе с гипотезой H ₀ выдвигается альтернативная или конкурирующая гипотеза, которая обозначается H ₁. Например:

1)	H 0: M x = 0	2)	H 0: M x = 0	3)	H 0: M x = 0
	H 1: M x ¹ 0		H 1: M x > 0		H 1: M x = 2

Пусть случайная величина K – статистический критерий проверки некоторой гипотезы H ₀. При справедливости гипотезы H ₀ закон распределения случайной величины K характеризуется некоторой известной нам плотностью распределения p _k (x).

Выберем некоторую малую вероятность a, равную 0,05, 0,01 или еще меньшую. Определим критическое значение критерия K _кр как решение одного из трех уравнений, в зависимости от вида нулевой и конкурирующей гипотез:

                                                     P (K> K _кр) = a                                                    (1)

                                                     P (K< K _кр) = a                                                    (2)

                                          P ((K< K _кр1)Ç(K> K _кр2)) = a                                         (3)

Возможны и другие уравнения, но они встречаются значительно реже, чем приведенные.

Решение уравнения (1) (то же самое для уравнений (2) и (3)) заключается в следующем: по вероятности a, зная функцию p_K (x), заданную как правило таблицей, нужно определить K _кр.

Что означает условие (1)?

Если гипотеза H ₀ справедлива, то вероятность того, что критерий K превзойдет некоторое значение K _кр очень мала – 0,05, 0,01 или еще меньше, в зависимости от нашего выбора. Если K _в – значение критерия K, рассчитанное по выборочным данным, превзошло значение K _кр, это означает, что выборочные данные не дают основания для принятия нулевой гипотезы H ₀ (например, если a = 0,01, то можно сказать, что произошло событие, которое при справедливости гипотезы H ₀ встречается в среднем не чаще, чем в одной из ста выборок). В этом случае говорят, что гипотеза H ₀ не согласуется с выборочными данными и должна быть отвергнута. Если K _в не превосходит K _кр, то говорят, что выборочные данные не противоречат гипотезе H ₀, и нет оснований отвергать эту гипотезу.

Для уравнения (1) область K> K _кр называется критической областью. Если значение K _в попадает в критическую область, то гипотеза H ₀ отвергается.

Для уравнения (1) область K < K _кр называется областью принятия гипотезы. Если значение K _в попадает в область принятия гипотезы, то гипотеза H ₀ принимается.

Рисунок 1. иллюстрирует решение уравнения (1). Здесь p_K (x) – известная плотность распределения случайной величины K при условии справедливости гипотезы H ₀.

Пусть выбрано некоторое малое значение вероятности a, по нему определено значение K _кр и по выборочным данным определено значение K _в, которое попало в критическую область. В этом случае гипотеза H ₀ отвергается, но она может оказаться справедливой, просто случайно произошло событие, которое имеет очень малую вероятность a. В этом смысле a есть вероятность отвержения правильной гипотезы H ₀.

Отвержение правильной гипотезы называется ошибкой первого рода. Вероятность a называется уровнем значимости. Таким образом уровень значимости – это вероятность совершения ошибки первого рода.

Критическая область, полученная для уравнения (1) и приведенная на рисунке 1., называется правосторонней.

 

Уравнение (2) определяет левосторонюю критическую область. Ее изображение приводится на рисунке 2.

Отметим, что каждая из заштрихованных фигур на рисунках 1. и 2. имеет площадь, равную a.

 

 

Уравнение (3) определяет двустороннюю критическую область. Такая область изображена на рисунке 3. Здесь критическая область состоит из двух частей. В случае двусторонней критической области границы ее частей K _кр1 и K _кр2 определяются таким образом, чтобы выполнялось условие:

                                       P (K £ K _кр) = P (K ³ K _кр) = a / 2.

На рисунке 3. площадь каждой из заштрихованных фигур равна a / 2.

Вид критической области зависит от того, какая гипотеза выдвинута в качестве конкурирующей.

Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу H ₀, когда она верна, то есть совершить ошибку первого рода. Но с уменьшением уровня значимости расширяется область принятия гипотезы H ₀ и увеличивается вероятность принятия проверяемой гипотезы, когда она неверна, то есть когда предпочтение должно быть отдано конкурирующей гипотезе.

 

Пусть при справедливости гипотезы H ₀ статистический критерий K имеет плотность распределения p ₀(x), а при справедливости конкурирующей гипотезы H ₁ – плотность распределения p ₁(x). Графики этих функций приведены на рисунке 4. При некотором уровне значимости находится критическое значение K _кр и правосторонняя критическая область. Если значение K _в, определенное по выборочным данным, оказывается меньше, чем K _кр, то гипотеза H ₀ принимается. Предположим, что справедлива на самом деле конкурирующая гипотеза H ₁. Тогда вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы H ₀ есть некоторое число b, равное площади фигуры, образованной графиком функции p ₁(x) и полубесконечной частью горизонтальной координатной оси, лежащей слева от точки K _кр. Очевидно, что b – это вероятность того, что будет принята неверная гипотеза H ₀.

Принятие неверной гипотезы называется ошибкой второго рода. В рассмотренном случае число b – это вероятность ошибки второго рода. Число 1 – b, равное вероятности того, что не совершается ошибка второго рода, называется мощностью критерия. На рисунке 4 мощность критерия равна площади фигуры, образованной графиком функции p ₁(x).и полубесконечной частью горизонтальной координатной оси, лежащей справа от точки K _кр. Выбор статистического критерия и вида критической области осуществляется таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.