Тема 2.2. Элементы теории оценок и проверка гипотез

1. Оценка неизвестного параметра.

2. Методы нахождения точечных оценок.

3. Интервальное оценивание параметров.

4. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

5. Проверка статистических гипотез.

6. Проверка гипотез о законе распределения.

 

Во многих случаях мы располагаем информацией о виде закона распределения случайной величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем параметров этого распределения, таких как M x, D x. Для определения этих параметров применяется выборочный метод.

Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину

                  

Величина  называется относительной частотой значения признака x_i. Если значения признака, полученные из выборки не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой

                                                     .

Естественно считать величину  выборочной оценкой параметра M x.

1.Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой.

Выборочную дисперсию

                            

можно считать точечной оценкой дисперсии D x генеральной совокупности.

Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными признаками x и y. Например, деталь может иметь два размера – длину и ширину. Можно в различных районах измерять концентрацию вредных веществ в воздухе и фиксировать количество легочных заболеваний населения в месяц. Можно через равные промежутки времени сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величину x, h. Эта случайная величина принимает значения x, y на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин x и h, мы не можем говорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.

Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где
  i -тый отобранный объект (i = 1,2,... n)представлен парой чисел x_i, y_i:

x 1	x 2	...	xn
y 1	y 2	...	yn

3.Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

                                                  

Здесь

                    , ,

                                   .

Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции r _{x h}, характеризующего генеральную совокупность.

Выборочные параметры  или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.

Пусть выборочный параметр d рассматривается как выборочная оценка параметра D генеральной совокупности и при этом выполняется равенство

                                                           M d = D.