Критерии адекватности объекта и модели

 

Для решения задач идентификации необходимо ввести некоторый способ оценки в области объекта и описывающей его модели.

Для этого целесообразно воспользоваться выбором некоторого критерия адекватности. На практике наиболее часто принято использовать байсовые критерии минимума среднего риска.

Обозначим у(t) – выходной сигнал объекта, у_m(t) – выходной сигнал модели.

Рассогласование: .

Принято оценивать точность идентификации в каждом конкретном случае значением Q(ε) (функция потерь).

Значение величины ε(t) не всегда в равной степени, не во все моменты времени могут быть равноценными, с точки зрения значимости для управления. Поэтому дополнительно вводят функцию значимости: w(t) – функция веса.

Для данной реализации входной величины x(t) качество решения задачи идентификации, в среднем, принято оценивать математическое ожидание функции потерь.

 - средний риск.

Большинство решений задач идентификации являются байсовыми, поскольку получается на основе критерия минимума среднего риска:

k(Q)→min

Вбирая тот или иной вид потерь Q(t) можно получить ряд критериев, применяемых на практике при решении тех или иных задач идентификации.

1) Пусть функция веса w(t)=1. Это означает, что значение ε(t) во все моменты времени равноценны.

Выбираем функцию потерь:

Тогда                  - значение среднего риска.

Это вероятность того, что рассогласование ε(t) выходит за пределы (-φ(t),φ(t)).

2) Пусть Q(ε)=c-δ(ε(t)). Используемую оценку получают критерий максимального правдоподобия.

Q(ε)=ε²(t) – приходит к критерию средней квадратичной ошибки, применение которого приводит к простым алгоритмам идентификации.

3) Q(ε)=ε(t)

 - равномерный критерий.

Недостатком, которого является то, что минимум может достигаться не только в точках наибольшей близости у и у_m. Но также и в тех точках, где положительные и отрицательные отклонения приблизительно равны. Этого недостатка можно избежать, если взять модель ε(t), т.е.

 

Недостаток оценки: указанный интеграл, оказывается, найти затруднительно. Критерий адекватности могут быть улучшены за счет рационального выбора функций w(t).

Считается удачный выбор функции:  

Т₀ – наперед заданное времени памяти.

В ряде случаев используют критерии, учитывающий входной сигнал:

В общем случае могут быть использованы также и другие критерии адекватности, причем выбор подходящего критерия адекватности представляет собой в ряде случаев не простую задачу и диктуется во многом особенностями решаемой задачи идентификации. А также уровнем мастерства исследования.

 

Точность идентификации

 

При решении задачи идентификации следует стремиться к тому, чтобы производный над объектом эксперимент, обеспечивая максимум полезной информации при минимальном количестве и продолжительности опытов.

В общем случае оценка параметров объекта по результатам эксперимента носит приблизительный характер. Погрешности оценок могут быть обусловлены целым рядом фактором: не индивидуальностью принятой моделью, наличием шага квантования сигнала, ограниченностью времени наблюдений и т.д.

Перечисленные факторы в их направленном единстве, поскольку они могут влиять друг на друга.

Рассмотрим некоторые виды возникающих погрешностей:

1. Оценки, связанные с наличием шумов.

Присутствие шумов при проведении измерений на технических объектах не только мешает получению достоверных данных, но в ряде случаев делает это даже невозможным. В качестве шумов при проведении механических испытаний могут наступать случайные вибрационные возможности.

При электрических измерениях могут сказываться помехи в электрических деталях.

В этих случаях для получения количественных оценок приходится вводить косвенные показатели; например: сигнал/шум.

Данное выражение имеет смысл для широкополосных шумов. Если в процессе идентификации параметр q оказывается малым, то следует использовать различные методы увеличения этого параметра. Как показали исследования, обработка результатов измерения переходной характеристики возможно, если q>16dB. А для импульсной переходной характеристики Q>6dB.

К числу простейших способов улучшения этого параметра относится фильтрация ВЧ (высоко частотных) сигналов и сглаживания экспериментальных данных. Другим эффективным способом повышения q является многократное повторение измерений с последующим усреднением. Известно, что среднее квадратное отклонение стационарной помехи после n измерений:

- средняя квадратичная ошибка измерений.

Повышение параметра q: ∆q=10 lg n

Эффективным средством повышения малых неустойчивости процесса идентификации является применение моделей и сравнение выходных координат с соответствующей координатами объекта в смысле некоторого критерия близости.

При решении таких задач приходится, как правило, перебирать несколько вариантов аппроксимации экспериментальных данных.

Такая аппроксимация может быть достигнута путем использования экспериментальной функции степенных, тригонометрических компонентов и т.д.

2. Ошибки за счет не идеальности модели. Эти ошибки могут быть связаны с конечной длительностью переходных процессов, конечной полосой пропускания, нестабильностью характеристики объекта. Например: продолжительностью наблюдения за объектом должна быть такой, чтобы переходный процесс успел завершиться до подачи следующего типового воздействия.

При конечной полосе пропускания системы динамические характеристики объекта без существенных потерь точности могут быть представлены в виде ряда дискретных значений, причем интервал дискретизации.

в соответствии с теоремой Котельникова, должен выбираться из предыдущего условия.

Помимо дискретизации по времени используется дискретизация по уровню.

Исследованием установлено, что для большинства практических случаев, число уровней квантования может превысить n=16.

3.   Ошибки за счет выбора времени усреднения.

Выбор времени регистрации и продолжительность усреднения сигнала, с целью достижения требуемой точности носит противоречивый характер. С одной стороны для поверх устойчивости и большей надежности получаемых результатов, желательно, чтобы время регистрации было достаточно продолжительным.

В силу возможной не стационарности реальных объектов, интервал наблюдения не должен быть слишком продолжительным.

В ряде случаев используется метод стохастической аппроксимации с текущим усреднением, что позволяет отслеживать не стационарность объекта в процессе его функционирования.

С учетом этих факторов при осуществлении идентификации объекта необходимо производить оценку требуемого времени наблюдения.

Вопросы самоконтроля:

1. Суть критерия минимума среднего риска.

2. Критерий максимального правдоподобия.

3. Равномерный критерий.

4. Какие существуют виды погрешностей?

Лекция № 5

Цель лекции: изучение идентификация статических характеристик объекта методами теории автоматического управления.

 

Требования, предъявляемые к методам идентификации

Сопоставительный анализ методов идентификации показывает, что ни один из существующих на сегодняшний день методов не является универсальным.

Конкретный выбор критерия адекватности модели и алгоритма идентификации определяется характерными особенностями самого исследуемого объекта, степень его изучения, условием проведения экспериментов и т.д.

Анализ имеющихся результатов, опубликованных в научно-технической литературе, позволяет сформулировать ряд требований и методов идентификации и способов их реализации, применительно к различным видам объектов.

1. Метод идентификации должен быть автоматизированным и предусматривать возможность повторения измерений из-за нестабильности процессов изучаемых объектов.

2. Схемная реализация методов должна быть достаточно простой и должна по возможности позволять обходиться без использования специальной аппаратуры, т.е. предпочтительно использовать методы, рассчитанные на использование типовой аппаратуры.

3. Тестовое воздействие на объект должно быть достаточно малым, чтобы не нарушить режим нормального функционирования этого объекта. При этом, желательно, чтобы технологическая реализация тестового воздействия была достаточно простой.

4. По возможности в качестве тестового сигнала следует использовать сигналы, формируемые и возникаемые в самом объекте в процессе его функционирования.

5. Методы идентификации должны быть независимы от начальных условий измерений, быть достаточно точными и инвариантными к возмущающим воздействиям.

А в алгоритм обработки в результате измерения достаточно эффективны.

6. Сигналы, используемые в ходе идентификации должны позволять возможность их аппроксимации аналитическими методами.

При этом необходимо предусматривать возможность достаточно простого и точного перехода от полученных параметров модели к любым параметрам эквивалентных математических моделей.