Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1. Равномерный закон распределения.

Равномерный закон на отрезке А и В имеет плотность вероятности F(x) постоянную и вне этого отрезка равную нулю.

Функция распределения имеет следующий вид:

2. Показательный закон распределения (экспоненциальный)

 

3. Закон распределения случайной непрерывной величины (закон Гаусса)

С параметром a и  имеет плотность вероятности:

Кривую по нормальному закону распределения называют кривой Гаусса. Она имеет максимум в т.a с ординатой

две точки перегиба:

 с ординатами

Кривая симметрична относительно прямой x=a, где a=M(x) и

Функция распределения выражается в виде:

 

4. Основной закон распределения – логарифмический нормальный закон распределения (логонормальный)

Данные сигналы отличаются уровнем вокруг которых происходят колебания. Этот уровень характеризует наиболее вероятное значение случайной величины.

Математическое ожидание – это наиболее вероятное значение случайной величины.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется:

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание:

                              

 

Случайные величины x₁(t) и x₂(t) колеблются на одном уровне, но имеют разные диапазоны колебаний (коридоры). Случайная величина x₂(t) имеет большую амплитуду колебаний, а значит большее отклонение от средней величины.

Дисперсия – «рассеяние» случайной величины.

Дисперсией D (x) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонений от математического ожидания случайной величины.

Для нормального закона распределения дисперсия рассчитывается по формуле:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно в практическом применении, поэтому в качестве показателя рассеивания используется арифметическое значение квадратного корня из дисперсии, то есть средне квадратичное отклонение:

Для непрерывной случайной величины дисперсия находится по следующей формуле:

где  – функция распределения

 

Оценка среднеквадратичного отклонения определятся по формуле:

где (n-1) - степень свободы

 

Автокорреляционная функция

Случайные величины x₁(t), x₂(t) отличатся скоростью изменения во времени. Данные сигналы имеют различные спектральные составляющие, то есть высокочастотные и низкочастотные компоненты. Скорость изменения случайной величины во времени характеризуется автокорреляционной функцией:

Вид автокорреляционной функции и время ее затухания является количественной оценкой случайного процесса.

Для низкочастотных сигналов время затухания автокорреляционной функции увеличивается.

Корреляция – стахостическая связь между случайными величинами, то есть время затухания корреляционной функции, которая показывает продолжительность времени, на котором точки случайного процесса имеют между собой стахостическую связь.

Для низкочастотных сигналов продолжительность времени, на которых имеются стахостическая связь увеличивается.

 

Спектральная плотность

Второй оценкой скорости изменения случайной величины в спектральной области (частотной области) является спектральная плотность.

Спектральная плотность показывает разложение дисперсии (мощности) по частоте, то есть случайный процесс можно разложить на гармоники. Каждая гармоника характеризуется своей частотой и своей дисперсией.

x(t)=x₁(t)+x₂(t)+x₃(t)

График, показывающий мощность гармоник случайного процесса и их распространение по частоте называется спектральной плотностью

Он получен путем преобразования Фурье автокорреляционной функции:

Площадь под кривой спектральной плотностью равна сумме дисперсий гармоник, то есть равна дисперсии исходного случайного процесса:

Таким образом спектральная плотность – эторазложение дисперсии случайного процесса по частотам гармонических составляющих.

 

Вопросы самоконтроля:

 

1. Что называют математическим ожиданием?

2. Что такое дисперсия?

3. Основные законы распределения случайной величины.

4. Что характеризует автокорреляционная функция?

5. Что характеризует спектральная плотность?

 

 

Лекция № 4.

Цель лекции: изучение характеристик оценки качества и идентификации.