Плотность электронных состояний

 

Все основные свойства квантовых нитей, в том числе и оптические, определяются законом дисперсии, т.е. зависимостью энергии электронных состояний от импульса:

 

                                                      (7)

 

где m * - эффективная масса электронов (дырок), E_i - дискретные значения энергии (i=1,2,…), связанные с эффектом размерного квантования, p_z - импульс носителя заряда в направлении его свободного движения. Выражение E_i (p_z) описывает i -тую подзону размерного квантования. В связи с этим интересно сравнить между собой объемные материалы с законом дисперсии:

 

                                                      (8)

и квантовые нити (7). Несмотря на внешнюю похожесть приведенных формул, разное число измерений, по которым электроны (дырки) могут свободно двигаться, вызовет качественную разницу почти во всех свойствах.

Важнейшей характеристикой электронной системы наряду с ее законом дисперсии является плотность состояний, т.е. число состояний в единичном интервале энергии. Поскольку электроны подчиняются принципу Паули, то плотность состояний определит то максимальное число электронов, которое может разместиться в данном интервале энергий, а распределение электронов по энергиям определит все их остальные свойства.

Основной вопрос здесь заключается в следующем: насколько должны отличаться импульсы двух электронов, чтобы они могли считаться принадлежащими к различным квантовым состояниям и не подчиняться принципу Паули? Пусть размер образца вдоль оси z равен L_z. Из соотношений неопределенности квантовой механики следует, что при этом неопределенность импульса p_z будет равна 2рh/ L_z и, следовательно, различными могут считаться состояния со значениями импульса, различающимися на 2рh/ L_z. Аналогичные рассуждения относятся и к другим направлениям, в которых электроны двигаются как свободные.

Теперь мы можем вычислить важную промежуточную характеристику системы G(E) - полное число состояний, имеющих энергию, меньшую, чем E. В трехмерном случае:

 

                              (9)

 

где V - объем образца, V_p(E) - объем импульсного пространства, т.е. области в осях p_x, p_y, p_z, для которой энергия меньше, чем E. Легко понять, что эта область представляет собой шар радиусом и объемом (4р /3) (2m*E)^3/2, так что окончательно в трехмерном случае:

                                          (10)

 

Очевидно, что G (E) образовалось суммированием всех состояний с энергиями от 0 до E. При этом интересующая нас плотность состояний вблизи заданной энергии будет определяться производной G (E) по энергии. Кроме того, обычно интересуются плотностью состояний не на весь образец, а на единицу объема и учитывают то, что в каждом состоянии могут находиться два электрона с противоположными спинами. Это дает окончательную формулу для трехмерной плотности состояний:

 

                                          (11)

 

Аналогичный расчет для квантовой нити приводит к следующему выражению:

 

                              (12)

 

Здесь суммирование проводиться по подзонам размерного квантования.

 

 

Рисунок 21 - Плотность состояний в объемном полупроводнике (левая панель) и в квантовой нити (правая панель)

На рисунке 21 схематично показаны плотности состояний для объемного материала и квантовой нити. Видно, что они качественно различаются. В объемном полупроводнике плотность состояний монотонно растет с увеличением энергии, а в квантовых нитях в плотности состояний возникают сингулярности каждый раз, когда мы приближаемся к экстремуму очередной подзоны размерного квантования. На рисунке 22 представлены экспериментальные спектры поглощения и дифференциального пропускания света квантовыми нитями, изготовленными путем внедрения GaAs в асбестовые нанотрубки. Спектральные особенности связаны с сингулярностями плотности состояний. Из-за разброса размеров квантовых нитей в образце спектры оказываются неоднородно уширенными. В связи с этим не удается наблюдать всю возможную энергетическую структуру квантовых нитей. Для исследования этой структуры необходимо использовать размерно-селективные методы оптической спектроскопии.

 

 

Рисунок 22 - Спектры линейного поглощения (а) и дифференциального пропускания (b) GaAs квантовых нитей

 

Сплошными и штриховыми стрелками показаны теоретические значения межзонных переходов из подзоны тяжелых (hh) и легких (lh) дырок для квантовых нитей с диаметром 4 нм, 4.8 нм и 6 нм[17].