Прямая геодезическая задача.

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис.23), горизонтальное расстояние S_AB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол α_AB или румб r_AB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.

Рис. 23. Прямая геодезическая задача

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом. Дано: Точка А(X_A, Y_A), S_AB и α_AB. Найти: точку В(X_B, Y_B). Непосредственно из рисунка имеем: ΔX = X_B – X_A;ΔY = Y_B – Y_A.

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС: ΔX = S_AB · cos α_AB; ΔY = S_AB · sin α_AB. Так как в этих формулах S_AB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos α_AB и sin α_AB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл.1.                          

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращение координат	Четверть окружности в которую направлена линия
	I                             (СВ)	II                           (ЮВ)	III                     (ЮЗ)	IV                       (СЗ)
ΔX	+	-	-	+
ΔY	+	+	-­	-

При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам: Δ X = S_AB · cos r_AB; Δ Y = S_AB · sin r_AB.

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба. Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки: Xb = xa + δx; Y_B = Y_A+ ΔY. Таким образом, можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

Обратная геодезическая задача.

Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А (X_A, Y_A) и В (X_B, Y_B) необходимо найти длину S_AB и направление линии АВ: румб r_AB и дирекционный угол α_AB (рис.24).

Рис. 24. Обратная геодезическая задача

Данная задача решается следующим образом. Сначала находим приращения координат: ΔX = X_B – X_A; ΔY = Y_B – Y_A.

ΔY	= tg rAB
ΔX

Величину угла r_AB определим из отношения

По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим α_AB.

SAB=	ΔX	=	ΔY	= Δ X · sec α AB = Δ Y · cosec α AB
	cos αAB		sin αAB

Для контроля расстояние S_AB дважды вычисляют по формулам:

 

SAB=	ΔX	=	ΔY	= Δ X · sec rAB = Δ Y · cosec rAB
	cos rAB		sin rAB

Расстояние S_AB можно определить также по формуле