Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. 





Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.



Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Теорема 7.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, т.е. имеет в этой точке производную (x0). Запишем приращение функции ∆y точке x0:

∆y = (x0) ∆ x + ∆ x, где →0 при ∆ x→0 (см. доказательство теоремы 6.1).

Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0. Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.

Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция

y= =

(см. рис.4).

Эта функция непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, приращение этой функции в точке x = 0 есть

∆y = f(0+∆ x) ─ f(0) = f(∆ x) = ,

= = ,

т.е. в любой сколь угодно малой окрестности значения отношение принимает два различных значения: 1 и ─1. Это означает, что предел не существует, т.е. функция y= не имеет производной в точке x = 0, а, следовательно, график функции не имеет касательной в точке O(0;0) (поскольку угловой коэффициент касательной должен быть равен производной, но производной не существует).

Дифференциал функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие дифференциала. Геометрический смысл.

Дифференциал функции одной переменной:

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0,то есть ее приращение представимо в виде:

  Δy = f(x0x)-f(x0)= AΔx+αxx,  

где А - число, не зависящее от Δx, а αx) - бесконечно малая функция при Δx→0.

Тогда выражение AΔx называется дифференциалом функции f(x) в точке х0 и обозначается символом

  dy = AΔx.  

 

 

Необходимое и достаточное условие дифференциала:

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точкеx0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом

  Δy = f(x0x)-f(x0)= f'(x0x+αxx,  

где αx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

Геометрические смысл:

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0. Проведем касательную к графику этой функции в точке M0(x0, f(x0)) (рис. 1).

Угловой коэффициент касательной равен tg α = f '(x0), где α — угол между касательной и осью OX. При изменении абсциссы х0 на Δx приращение ординаты соответствующей точки касательной равно

 

  Δx · tg α = f '(x0) · Δxdf(x0).  

 

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х0 равен приращению, которое получает линейная функция, графиком которой является касательная, при переходе из точки x0 в точку
x0 + Δx.





Последнее изменение этой страницы: 2019-12-15; просмотров: 127; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.174.225.82 (0.006 с.)