Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Теорема 7.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, т.е. имеет в этой точке производную (x0). Запишем приращение функции ∆y точке x0:

∆y = (x0) ∆ x + ∆ x, где →0 при ∆ x→0 (см. доказательство теоремы 6.1).

Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0. Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.

Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция

y= =

(см. рис.4).

Эта функция непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, приращение этой функции в точке x = 0 есть

∆y = f(0+∆ x) ─ f(0) = f(∆ x) = ,

= = ,

т.е. в любой сколь угодно малой окрестности значения отношение принимает два различных значения: 1 и ─1. Это означает, что предел не существует, т.е. функция y= не имеет производной в точке x = 0, а, следовательно, график функции не имеет касательной в точке O(0;0) (поскольку угловой коэффициент касательной должен быть равен производной, но производной не существует).

Дифференциал функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие дифференциала. Геометрический смысл.

Дифференциал функции одной переменной:

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x ₀,то есть ее приращение представимо в виде:

Δ y = f( x0+Δ x) -f (x 0) = A Δ x+α (Δ x)Δ x,

где А - число, не зависящее от Δ x, а α (Δ x) - бесконечно малая функция при Δ x →0.

Тогда выражение A Δ x называется дифференциалом функции f (x) в точке х ₀ и обозначается символом

dy = A Δ x.

 

Необходимое и достаточное условие дифференциала:

Для того, чтобы функция f (x) была дифференцируема в точке x ₀ необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом

Δ y = f( x0+Δ x) -f (x 0) = f^' (x 0)Δ x+α (Δ x)Δ x,

где α (Δ x) - бесконечно малая функция, при Δ x →0.

Геометрические смысл:

Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х₀. Проведем касательную к графику этой функции в точке M ₀(x ₀, f (x ₀)) (рис. 1).

Угловой коэффициент касательной равен tg α = f '(x ₀), где α — угол между касательной и осью OX. При изменении абсциссы х₀ на Δ x приращение ординаты соответствующей точки касательной равно

 

Δ x · tg α = f '(x 0) · Δ x ≡ df (x 0).

 

Таким образом, дифференциал функции f (x) в точке х₀ равен приращению, которое получает линейная функция, графиком которой является касательная, при переходе из точки x ₀ в точку
x ₀ + Δ x.