Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Пусть y = f (x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Производные высших порядков. Формула Тейлора.

См. 36 билет

 

Общая схема исследования функции. Монотонность функции. Необходимое и достаточное условие монотонности.

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для

наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения

функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области

определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Общая схема исследования функции. Экстремумы функции. Необходимое условие.

См. 38 билет.

Точки экстремума:

-окрестности

-виды

-не могут сущ.

Необходимое условие:

Общая схема исследования функции. Экстремумы функции. Достаточные условия(1-ое,2-ое)

См. 40 билет.

Общая схема исследования функции. Асимптоты графика. Определение. Виды асимптот.

Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий

,

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если

Общая схема исследования функции. Нахождение наклонных асимптот.

Дифференциал длины дуги.

Кривизна кривой. Центр и радиус кривизны.

Определение функции нескольких переменных. Геометрический смысл функции 2-х переменных. Линии и поверхности уровня. Предел функции нескольких переменных.

Непрервывность функции нескольких переменных. Формулировка основных свойств непрерывности функции. Точки, линии, поверхности разрывов.

Частные производные 1-ого и высших порядков. Теорема о порядке дифференцирования.

Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.

Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных. Необходимое условие дифференцируемости.