Дифференциал. Геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Геометрический смысл: см. билет 20.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям:

22. Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Основные правила дифференцирования. Производная постоянной, производная суммы.

Основные правила дифференцирования:

Пусть , тогда:

Производная постоянной величины.

Пусть f(x) = C = const. Тогда: Т1: Производная постоянной величины равна 0:

Основные правила дифференцирования. Производная произведения.

Осн. правила (см билет 23).

Производные сложной и обратной функции.

Формулы дифференцирования. Производная логарифмической функции.

Формулы

Формулы дифференцирования. Производная показательной функции.

Производная показательной функции:

Функция е^х дифференцируема в каждой точке области определения, и

(е^х)' = е^х.

 

Доказательство.

Найдем сначала приращение функции у = е^х в точке x₀:

Δy = e ^x₀^+Δx — е ^x₀ = е ^x₀ • е ^Δx — е ^x₀ = е ^x₀ (е^{Δ x} — 1).

 

Пользуясь условием (1), находим:

при Δx → 0

 

По определению производной отсюда следует, что у' = e^x т. е. (е^x)’= е^х при любом х.

Число е положительно и отлично от 1, поэтому определены логарифмы по основанию е.

Формулы дифференцирования. Производные тригонометрических функций.

Формулы дифференцирования. Производные обратных тригонометрических функций.

Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно степенной функции.

Логарифмическое дифференцирование:

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f (x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна

Производная показательно степенной функции

Рассмотрим показательно степенную функцию y = u(x)^v(x)

Теорема 11. Пусть функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы, тогда функция y = u(x)^v(x) дифференцируема и

Доказательство

Так как ln y = v(x) ln u(x), то, продифференцировав это равенство, получаем

Теорема доказана.

31. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля.

 

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Лагранжа.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Коши.

Правило Лопиталя.

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ;

Если и , то аналогично .

 

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения