Ограничения точности для целых чисел

· Целые между 0 и 2047 представляются точно

· Целые между 2048 и 4095 округляются вниз до кратного 2 (четному числу)

· Целые между 4096 и 8191 округляются вниз до кратного 4

· Целые между 8192 и 16383 округляются вниз до кратного 8

· Целые между 16384 и 32767 округляются вниз до кратного 16

· Целые между 32768 и 65535 округляются вниз до кратного 32

Почему это происходит? Пусть дано число 5003₁₀=1001110001011₂=011001001110001011. Последние две цифры мантиссы оказались за пределами разрядной сетки. При обратном переводе в десятичную систему получим число 5000 – ближайшее округленное до кратного числу 4.

Формат числа половинной точности

±	Порядок					Мантисса
1	5					10

Смещение (или сдвиг) порядка:  – число, которое необходимо прибавить к истинному порядку исходного числа. Оно записывается в биты поля Порядок. Для формата половинной точности под порядок выделяется 5 бит разрядной сетки, т.е. максимальное смещенное значение порядка – 31.

Формат числа одинарной точности

±	Порядок								Мантисса
1	8								23

Под порядок выделено 8 бит, поэтому смещение: .

Формат двойной точности

±	Порядок											Мантисса
1	11											52

Под порядок выделено 11 бит, поэтому смещение: .

Алгоритм получения числа с плавающей точкой

1. Перевести число из K-ичной системы счисления в двоичную (прямой код);

2. Представить двоичной число в нормализованной форме: ;

3. Рассчитать смещенный порядок числа: , где  – смещение, зависящее от формата хранения;

4. Разместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды сетки;

5. Разбить полученное число на тетрады и записать полученные двоичные разряды в виде числа в 16-ичной системе.

Алгоритм восстановления десятичного числа

1. Расписать по знакам исходное 16-ричное число на двоичные разряды;

2. По первому биту определить знак числа;

3. Вычислить истинный порядок: из смещенного порядка вычесть сдвиг порядка;

4. Записать знак, подразумеваемую единицу, в дробную часть выписать мантиссу, умножить полученное число на , упростить полученное выражение;

5. Перевести полученное число в десятичную систему счисления.

Характеристики некоторых форматов стандарта

Характеристика форматов	Одинарная точность	Двойная точность
Количество битов в знаке	1	1
Количество битов в экспоненте (порядке)	8	11
Количество битов в мантиссе	23	52
Общее число битов	32	64
Смещение экспоненты	127	1023
Область значений экспоненты	От -126 до 127	От -1022 до 1023
Самое маленькое нормализованное число	2^-126	2^-1022
Самое большое нормализованное число	2^128	2^1024
Диапазон десятичных дробей	От 10^-38до 10^38	От 10^-308 до 10^308
Самое маленькое ненормализованное число	10^-45	10^324
Название типа в C / C ++	Float	Double