Фундаментальный набор решений линейного разностного уравнения. Характеристическое уравнение. Определитель Казоратти.

Множество решений линейного однородного разностного уравнения k-ого порядка образует k-мерное линейное пространство, а любой набор  из k линейно независимых решений (называемый фундаментальным набором) является его базисом. Признаком линейной независимости решений  однородного уравнения является неравенство нулю определителя Казоратти:

Уравнение  называется характеристическим уравнением однородного линейного уравнения. Знание корней характеристического уравнения позволяет построить общее решение однородного разностного уравнения. Рассмотрим это на примере уравнения второго порядка:  Полученные в результате решения могут быть без труда перенесены на случай уравнений более высокого порядка.

В зависимости от значений дискриминанта D=b²-4ac характеристического уравнения  возможны следующие случаи:

1.  – корни х. уравнения, тогда общее решение уравнения имеет вид ;

2.  - корень х. уравнения, тогда общее решения уравнения имеет вид ;

3.  корни комплексные , где r – модуль λ₁, а  - его аргумент. Общее решение уравнения имеет вид .

C₁,C₂ – произвольные постоянные.

28. Теорема о частном решении линейного неоднородного разностного уравнения (без доказательства).

Для нахождения решения неоднородного линейного разностного уравнения используется метод неопределенных коэффициентов, основанный на подборе частного решения неоднородного уравнения по виду правой части f(n).

 

Модель Самуэльсона-Хикса. Уравнение Хикса. Мультипликатор Кейнса.

Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса(динамический вариант модели Кейнса). Модель основывается на принципе акселерации, т.е. на предположении, что объемы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Ур-е:

I(t) = V(Y(t-1) – Y(t-2)),                                   (1)

V>0 – фактор акселерации, I(t) – величина инвестиций в период t, Y(t-1), Y(t-2) – величины национального дохода соответственно в (t-1) и (t-2) периодах. Предполагается, что спрос на данном этапе зависит от величины национально дохода на предыдущем этапе

C(t) = aY(t-1) + b                                            (2)

Уравнение равенства спроса и предложения имеет вид:

Y(t) = I(t)+ C(t)

Подставим (1) и (2):

Y(t) = (a+V)Y(t-1) – VY(t-2) + b - уравнение Хикса. Оно представляет собой неоднородное линейное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. (предполагается, a и  V - постоянны)

Частным решением уравнения Хикса будет:

Y(t) = Y(t-1) = Y(t-2) = Y^*     (3),

(т.е. взяв в качестве частного решения равновесное решение Y^* = const.)Из ур-я (2) в силу (3):

Y^* = (a+V)Y^* - V Y^* +b, Y^*=b(1-a)^-1, где (1-a)^-1 – мультипликатор Кейнса, является одномерным аналогом матрицы полных затрат.

Паутинная модель рынка.

Это модель поиска равновесной цены.

Спрос и предложение - линейные ф-ии.

D_t= a – bp_t, s = m + np_t-1, a,b,m,n – положит., действ. Числа. S_t=D_t:

a-m = bp_t+np_t-1.  - линейное разностное уравнение 1-го порядка с пост. коэфф.

В качестве частного решения: p_t =  = const. Тогда:

.

Решая характ-е ур-е bλ + n = 0, λ = -n/b. =>

P_t= C₁(-n/b)^t + .

Таким образом динамика цен носит колебательный характер.

N<b - сходится к равновесному состоянию

n>b – удаляться от равновесного состояния

n=b – циклические колебания цены относительно равновесного состояние.