Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы.

Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы.

Для любой неотрицательной матрицы А=>0 существует собственное значение λ_А=>0 (называемое числом Фробениуса) такое, что λ_А=>|λ| для любого собственного значения λ матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор _А=>0, соответствующий собственному значению λ_А и называемый вектором Фробениуса. Причём, если А>0, то λ_А>0 и _А>0

 

Вектор валового выпуска, вектор конечного потребления, матрица прямых затрат.

А =  - матрица прямых затрат (матрица Леонтьева)

Уравнение межотраслевого баланса. Модель Леонтьева. Продуктивная матрица.

 – уравнение межотраслевого баланса (уравнение Леонтьева). Межотраслевой баланс — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора валового выпуска , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта . Зная матрицу А и вектор  остаётся решить уравнение

. Матрица А=>0 называется продуктивной, если для любого вектора  существует решение  уравнения Леонтьева.

 

Первый и второй критерии продуктивности.

1-ый кр. прод: Матрица А=>0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица

существует и неотрицательна.

2-ой кр. прод: Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.

 

5. Докажите, что матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица  − существует и неотрицательна (первый критерий продуктивности).

Пусть существует =>0, тогда x=(E-A)^-1y, где оба множителя >0, следовательно, x=>0, значит матрица продуктивна. Пусть А продуктивна. (E-A)x=e₁, значит с₁=>0, (E-A)x=e₂, значит с₂=>0, следовательно, (с₁,с₂,c_n)=C=>0. (E-A)C=E=>C=(E-A)^-1=>0

 

Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то ее число Фробениуса меньше 1.

Матрица А≥0 называется продуктивной, если для любого вектора ≥0 существует решение ≥0 уравнения

Пусть матрица А – неотрицательна и продуктивна.

Тогда для любого неотрицательного вектора  существует решение ≥0 уравнения

Пусть >0, тогда, очевидно, >0. Умножив  слева еа левый вектор Фробениуса  и учитывая, что

A= , то получим

>0, >0, то >0,  >0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что  <1.

Примеры ЗЛП. Задача о банке, задача о диете, задача об использовании ресурсов.

1) Задача о банке. Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют S млн долл. Часть этих средств, но не менее K млн долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Другое дело ценные бумаги (особенно государственные). Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее p % средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Пусть x – средства (млн долл.), размещенные в кредитах, y – средства, вложенные в ценные бумаги. Имеем следующую систему линейных ограничений:

1) x+y ≤ S – балансовое ограничение;

2) x+K – кредитное ограничение;

3) y ≥0,01 p(x + y) – ликвидное ограничение;

4) x ≥0, y ≥0.

Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг:  → max при условиях 1) – 4), где – доходность кредитов, – доходность ценных бумаг.

Так как кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то обычно . Мы пришли к задаче линейного программирования с ограничениями 1) – 4) и целевой функцией f, которую требуется максимизировать.

2) Задача о диете. Известно, что 1 кг яблок стоит 30 руб., а 1 кг абрикосов 60 руб. Сколько яблок и абрикосов должен потреблять человек в сутки, чтобы получить не менее 70 мг витамина С и не менее 2 мг витамина А при минимальных затратах на яблоки и абрикосы? Содержание витаминов А и С в яблоках и абрикосах указано в таблице.

	А (мг/кг)	С (мг/кг)
Яблоки	1	70
Абрикосы	24	75

 при

Где  - суточое потребление яблок и абрикосов в кг

Общая форма

Задача о диете: Пусть имеется 2 вида продуктов П₁ и П_2, содержащих питательные вещества А,В,С. В 1кг продуктов П₁ и П₂ содержится определенное количество вещества того или иного вида.

	А	В	С
П1	а1	b1	C1	Х1
П2	а2	b2	C2	Х2
	А	B	C

a,b,c- ежесуточное потребление А, В и С соответственно

s_1,s₂- стоимость П₁ и П₂ соответственно

Тогда целевая функция f=s₁x₁+s₂x₂-->min

Система ограничений:

Задача об использовании ресурсов: пусть R₁, R₂,R₃ – наличные ресурсы

b₁,b₂,b₃ – количество ресурсов R₁,R₂,R₃ соответственно

Т₁,Т₂ – выпускаемые товары

a_ij- число единиц ресурса, необходимых для выпуска 1 единицы товара

с₁,с₂ – доход от продажи товаров Т₁, Т₂ соответственно

х₁, х₂ – количество товаров Т₁ и Т₂ соответственно

общее количество ресурса R_1, используемого при выпуске обоих товаров, равное  , не должно превосходить b_i  , т.е. должны выполняться неравенства , i=1,2,3

Тогда целевая функция f=c₁x₁+c₂x₂--->max система ограничений:

 

Другие задачи ЗЛП:

- задача об оптимальном портфеле ценных бумаг

- задача о заготовках

- транспортная задача

Каноническая и стандартная формы ЗЛП. Приведение ЗЛП к стандартному и каноническому виду. Примеры.

Каноническая форма ЗЛП предполагает нетривиальную[3] систему ограничений, которые являются уравнениями.

Стандартная форма ЗЛП предполагают эту систему, но уже только с неравенствами.

 Любая ЗЛП может быть сведена как к канонической, так и к стандартной форме.

 

Пример 1

Привести данную ЗЛП к каноническому виду

 

Где

Пример 2.

Привести данную ЗЛП к стандартному виду

Преобразуем систему уравнений методом Гаусса к виду

с базисными неизвестными  , и свободными неизвестными .

Учитывая неотрицательность неизвестных, получаем систему неравенств

 

Паутинная модель рынка.

Это модель поиска равновесной цены.

Спрос и предложение - линейные ф-ии.

D_t= a – bp_t, s = m + np_t-1, a,b,m,n – положит., действ. Числа. S_t=D_t:

a-m = bp_t+np_t-1.  - линейное разностное уравнение 1-го порядка с пост. коэфф.

В качестве частного решения: p_t =  = const. Тогда:

.

Решая характ-е ур-е bλ + n = 0, λ = -n/b. =>

P_t= C₁(-n/b)^t + .

Таким образом динамика цен носит колебательный характер.

N<b - сходится к равновесному состоянию

n>b – удаляться от равновесного состояния

n=b – циклические колебания цены относительно равновесного состояние.

 

Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы.

Для любой неотрицательной матрицы А=>0 существует собственное значение λ_А=>0 (называемое числом Фробениуса) такое, что λ_А=>|λ| для любого собственного значения λ матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор _А=>0, соответствующий собственному значению λ_А и называемый вектором Фробениуса. Причём, если А>0, то λ_А>0 и _А>0