Термодинамические процессы идеальных газов

В закрытых системах

Основными процессами, весьма важ­ными и в теоретическом, и в прикладном отношениях, являются: изохорный, протекающий при постоянном объеме; изобарный, протекающий при посто­янном давлении; изотермический, происходящий при постоянной темпера­туре; адиабатный — процесс, при ко­тором отсутствует теплообмен с окружа­ющей средой, и политропный, удов­летворяющий уравнению .

Метод исследования процессов, не зависящий от их особенностей и являю­щийся общим, состоит в следующем:

выводится уравнение процесса, уста­навливающее связь между начальными и конечными параметрами рабочего тела в данном процессе;

вычисляется работа изменения объема газа;

определяется количество теплоты, подведенной (или отведенной) к газу в процессе;

определяется изменение внутренней энергии системы в процессе;

определяется изменение энтропии системы в процессе.

Изохорный процесс. При изохорном процессе выполняется условие

dv = 0 или v = const. Из уравнения состояния иде­ального газа следует, что p/T=R/v= const, т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной темпе­ратуре:

.

Рисунок 5.1 - Изображение изохорного процесса в р,v- и T, s -координатах

Работа расширения в этом процессе равна нулю, так как dv= 0.

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 12 при , определяется как:

При переменной теплоемкости , где — средняя массовая изохорная теплоемкость в интервале темпера­тур от t 1 до t 2.

Так как 1= 0, то в соответствии с пер­вым законом термодинамики и

Поскольку внутренняя энергия идеально­го газа является функцией только его температуры, то полученные формулы справед­ливы для любого термодинамического процесса идеального газа.

Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле

,

т. е. зависимость энтропии от температу­ры на изохоре при с_v = const имеет лога­рифмический характер.

Изобарный процесс. Из уравнения состояния идеального газа при р =const находим , или , т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной темпе­ратуре (закон Гей-Люссака, 1802 г.). На рисунке изображен график процесса.

Рисунок 5.2 - Изображение изобарного процесса в p,v - и T,s -координатах

Из выражения следует, что .

Так как и , то одно­временно

Количество теплоты, сообщаемое га­зу при нагревании (или отдаваемое им при охлаждении):

,

где — средняя массовая изобарная теплоемкость в интервале темпера­тур от t 1до t 2при = const

.

Изменение энтропии при с_р = const согласно равно

,

т. е. температурная зависимость энтро­пии при изобарном процессе тоже имеет логарифмический характер, но поскольку с_р>с_v, то изобара в Т, s-диаграмме идет более полого, чем изохора.

Изотермический процесс. При изотер­мическом процессе температура постоян­на, следовательно, pv = RT = const, или

,

т. е. давление и объем обратно пропорци­ональны друг другу, так что при изо­термическом сжатии давление газа воз­растает, а при расширении — падает (закон Бойля — Мариотта, 1662 г.).

Графиком изотермического процесса в р,v –координатах является равнобокая гипербола, для которой координатные оси служат асимптотами.

Работа процесса:

.

Так как температура не меняется, то внутренняя энергия идеального газа в данном процессе остается постоянной () и вся подводимая к газу тепло­та полностью превращается в работу расширения:

 

 

Рисунок 5.3 - Изображение изотермического про­цесса в р, v- и T, s -координатах.

 

При изотермическом сжатии от газа от­водится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.

Изменение энтропии в изотермиче­ском процессе выражается формулой

.

Адиабатный процесс. Процесс, про­исходящий без теплообмена с окружаю­щей средой, называется адиабатным, т. е. . Для того чтобы осуществить та­кой процесс, следует либо теплоизолиро­вать газ, т. е. поместить его в адиабат­ную оболочку, либо провести процесс на­столько быстро, чтобы изменение темпе­ратуры газа, обусловленное его тепло­обменом с окружающей средой, было пренебрежимо мало по сравнению с из­менением температуры, вызванным рас­ширением или сжатием газа. Как прави­ло, это возможно, ибо теплообмен про­исходит значительно медленнее, чем сжатие или расширение газа.

Уравнения первого закона термоди­намика для адиабатного процесса прини­мают вид: . Поделив первое уравнение на второе, получим

Интегрируя последнее уравнение при условии, что k =c_p/c_v= const, находим

После потенцирования имеем

. *

Это и есть уравнения адиабаты идеаль­ного газа при постоянном отношении теплоемкостей (k = const). Величина

называется показателем адиаба­ты. Подставив c_p = c_v-R, получим k. Согласно классической кине­тической теории теплоемкость газов не зависит от температуры, по­этому можно считать, что величина k также не зависит от температуры и оп­ределяется числом степеней свободы мо­лекулы. Для одноатомного газа k =1,66 для двухатомного k =1,4, для трех- и многоатомных газов k =l,33.

Поскольку k> 1, то в координатах р, v линия адиабаты идет круче линии изотермы: при адиабатном расши­рении давление понижается быстрее, чем при изотермическом, так как в процессе расширения уменьшается температура газа.

Рисунок 5.4 - Изображение адиабатного процесса в р, v- и Т, s-координатах

Определив из уравнения состояния, написанного для состояний 1 и 2, отно­шение объемов или давлений, получим уравнение адиабатного процесса в форме, выражающей зависимость температуры от объема или давления:

;

.

Работа расширения при адиабатном процессе согласно первому закону термодинамики совершается за счет уменьшения внутренней энергии и может быть вычислена по одной из следующих формул:

.

Так как и , то

.

В данном процессе теплообмен газа с окружающей средой исключается, по­этому q=0. Выражение пока­зывает, что теплоемкость адиабатного процесса равна нулю.

Поскольку при адиабатном процессе = 0, энтропия рабочего тела не изме­няется (ds =0 и s =const). Следователь­но, на Т, s-диаграмме адиабатный про­цесс изображается вертикалью.

Политропный процесс и его обобща­ющее значение. Любой произвольный процесс можно описать в р,v -координатах (по крайней мере на небольшом участке) уравнением

,

подбирая соответствующее значение п. Процесс, описываемый таким уравнением, называется политропным. Показатель политропы n может прини­мать любое численное значение в преде­лах от , но для данного процесса он является величиной посто­янной.

Из уравнения Клапейрона нетрудно получить выраже­ния, устанавливающие связь между р, v и Т в любых двух точках на политропе, аналогично тому, как это было сделано для адиабаты:

; ; . (5.1)

Работа расширения газа в политропном процессе имеет вид .

Так как для политропы в соответст­вии с (5.1)

,

то

(5.2)

Уравнение (5.1) можно преобразо­вать к виду:

Количество подведенной (или отве­денной) в процессе теплоты можно опре­делить с помощью уравнения первого закона термодинамики: .

Поскольку , то

,

где

представляет собой теплоемкость иде­ального газа в политропном процессе. При постоянных c_v, k и п теплоемкость с n = const, поэтому политропный процесс иногда определяют как процесс с посто­янной теплоемкостью.

Изменение энтропии

.

Политропный процесс имеет обобща­ющее значение, ибо охватывает всю со­вокупность основных термодинамических процессов. Ниже приведены характери­стики термодинамических процессов.

Процесс	п
Изохорный
Изобарный	0
Изотермический	1
Адиабатный	k	0

На рисунке показано взаимное распо­ложение на р, V- и Т, s-диаграммах политропных процессов с разными значения­ми показателя политропы. Все процессы начинаются в одной точке («в центре»).

 

Рисунок 5.5 - Изображение основных термоди­намических процессов идеального газа в р, v- и Т, s-координатах

 

Изохора (п= ± ) делит поле диаг­раммы на две области: процессы, нахо­дящиеся правее изохоры, характеризу­ются положительной работой, так как сопровождаются расширением рабочего тела; для процессов, расположенных ле­вее изохоры, характерна отрицательная работа.

Процессы, расположенные правее и выше адиабаты, идут с подводом теп­лоты к рабочему телу; процессы, лежа­щие левее и ниже адиабаты, протекают с отводом теплоты.

Для процессов, расположенных над изотермой (= 1), характерно увеличе­ние внутренней энергии газа; процессы, расположенные под изотермой, сопро­вождаются уменьшением внутренней энергии.

Процессы, расположенные между адиабатой и изотермой, имеют отрица­тельную теплоемкость, так как и du (а следовательно, и dT), имеют в этой области противоположные знаки. В таких процессах , поэтому на производство работы при расширении тратится не только подводимая теплота, но и часть внутренней энергии рабочего тела.

 

Эксергия

Основываясь на втором начале термодинамики, установим количествен­ное соотношение между работой, кото­рая могла бы быть совершена системой при данных внешних условиях в случае протекания в ней равновесных процес­сов, и действительной работой, произво­димой в тех же условиях, при неравно­весных процессах.

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из горячего источника с тем­пературой Ti, холодного источника (ок­ружающей среды) с температурой То и рабочего тела, совершающего цикл.

Работоспособностью (или эксергией) теплоты Q 1, отбирае­мой от горячего источника с температу­рой Т1, называется максимальная полез­ная работа, которая может быть полу­чена за счет этой теплоты при условии, что холодным источником является окру­жающая среда с температурой То.

Из предыдущего ясно, что макси­мальная полезная работа L'_макс теплоты Q 1 представляет собой работу равновес­ного цикла Карно, осуществляемого в диапазоне температур T1 –T0.

,

где .

Таким образом, эксергия теплоты Q1

,

 

т. е. работоспособность теплоты тем больше, чем меньше отношение . При она равна нулю.

Полезную работу, полученную за счет теплоты Q 1 горячего источника, можно представить в виде , где — теплота, отдаваемая в цикле холодному источнику (окружающей сре­де) с температурой .

Если через обозначить прира­щение энтропии холодного источника, то , тогда

. (5.3)

Если бы в рассматриваемой изолиро­ванной системе протекали только равно­весные процессы, то энтропия системы оставалась бы неизменной, а увеличение энтропии холодного источника рав­нялось бы уменьшению энтропии горяче­го. В этом случае за счет теплоты Q1 можно было бы получить максималь­ную полезную работу

что следует из уравнения (5.3).

Действительное количество работы, произведенной в этих же условиях, но при неравновесных процессах, определя­ется уравнением (5.3).

Таким образом, потерю работоспо­собности теплоты можно записать как , но разность представляет собой изменение энтропии рассматривае­мой изолированной системы, поэтому

. (5.4)

Величина определяет потерю работы, обусловленную рассеиванием энергии вследствие неравновесности про­текающих в системе процессов. Чем больше неравновесность процессов, мерой которой является увеличение энтропии изолированной системы , тем меньше производимая системой работа.

Уравнение (5.4) называют уравне­нием Гюи — Стодолы по имени француз­ского физика М. Гюи, получившего это уравнение в 1889 г., и словацкого тепло­техника А. Стодолы, впервые применив­шего это уравнение.

ЛЕКЦИЯ 6