Пряма. Взаємне положення прямих

Відомо, що пряма лінія ℓ в просторі визначається положенням двох її точок, наприклад А і В, які показані на рис. 1.5. Це означає, що достатньо виконати комплексне креслення вказаних точок, з’єднати однойменні проекції точок прямими лініями та отримати відповідно горизонтальну А1В1, фронтальну А2В2, профільну А3В3 проекції прямої, заданої відрізком AB (див. рис. 1.5).

 

Рисунок 1.5 – Утворення прямокутних

проекцій прямої лінії

 

Відносно площин проекцій пряма може займати різне положення. Пряма, яка не паралельна жодній з площин проекцій має назву прямої загального положення. Комплексне креслення такої прямої показано на рис. 1.6.

Пряму, паралельну одній з площин проекцій, називають прямою рівня. Пряму, перпендикулярну до однієї із площин проекцій, називають проекціювальною прямою.

 

Рисунок 1.6 - Комплексне креслення

прямої загального положення

 

Точки, в яких пряма перетинає площини проекцій, називають слідами. На рис. 1.7 показано пряму загального положення, яка утворена двома точками N і M, кожна з яких належить відповідній площині проекцій. Тому сліди прямої лінії можна розглядати як точки, які одночасно належать прямій та площині проекцій.

Рисунок 1.7 - Сліди прямої загального положення

 

Пряма загального положення перетинає три площини проекцій, тому має три сліди.

Пряма рівня перетинає дві площини проекцій. На рис. 1.8 показано побудову слідів горизонтальної прямої АВ. Точка M (M1,M2) – фронтальний слід прямої, точка N (N1,N3)- профільний слід прямої.

 

 

Рисунок 1.8 - Сліди прямої рівня

Проекціювальна пряма перетинає одну площину проекцій. На рис.1.9 показано побудову сліду фронтально-проекціювальної прямої АВ. Точка M (M1,M2) – фронтальний слід прямої АВ, або точка, яка одночасно належить площині проекції Π2 та прямій.

 

 

 

Рисунок 1.9 - Слід проекціювальної прямої

 

 

Дві прямі в просторі можуть перетинатись, бути паралельними та мимобіжними.

 

Якщо дві прямі a і b перетинаються в деякій точці А (показано на рис. 1.10), то проекції цієї точки повинні належати однойменним проекціям прямих, тобто точки перетину однойменних проекцій прямих, що перетинаються, повинні належати одній лінії зв’язку А1А2.

 

 

Рисунок 1.10 - Утворення прямокутних

проекцій прямих, що перетинаються

Якщо дві прямі a і b паралельні (показано на рис. 1.11), то на комплексному кресленні їх однойменні проекції також паралельні a2//b2, a1//b1.

 

 

Рисунок 1.11 - Утворення прямокутних проекцій паралельних прямих

 

Якщо дві прямі a і b мимобіжні, то на комплексному кресленні їх однойменні проекції перетинаються в точках, що не належать одній лінії зв’язку. На рис. 1.12 горизонтальні проекції прямих а1 і b1 перетинаються в точці А1=В1, яка відповідає горизонтальній проекції двох конкуруючих відносно площини проекцій Π1 точок А і В, а фронтальні проекції прямих а2 і b2 перетинаються в точці C2=D2, яка відповідає фронтальній проекції двох конкуруючих відносно площини проекцій Π2 точок C і D.

 

 

Рисунок 1.12 - Утворення прямокутних

проекцій мимобіжних прямих

 

 

Задачі для самостійного розв’язування

Задача №8

Побудувати проекції відрізків прямих АВ, CD, …, ST за заданими координатами вершин. Визначити положення прямих відносно системи площин проекцій.

 

Відрізок	X	Y	Z
AB	A
B
CD	C
D
EF	E
F
KL	K
L
MN	M
N
PR	P
R
ST	S
T

 

Приклад розв’язування:

 

1-й крок 2-й крок

 

 

3-й крок

Прямокутні проекції відрізка АВ утворені шляхом сполучення побудованих на попередніх кроках однойменних прямокутних проекцій його окремих точок.

 

 

Задача №9

Визначити на заданих прямих точку М, що належить площині проекцій Π1, та точку N, що належить площині проекцій Π2.

 

 

а) б) в)

Приклад типового розв’язування:

Прямокутні проекції М1 і М2 шуканої точки M визначені за умови їх належності однойменним проекціям прямої f та урахуванням нульового значення координати Z.

 

Задача №10

Побудувати прямокутні проекції прямих ℓ і m, які перетинаються в

т. А. Пряма ℓ - фронталь, пряма m – профільна пряма.

 

Задача №11

Прямі h (горизонталь) та ℓ (загального положення) перетинаються під кутом 90°. Побудувати прямокутні проекції прямих.

 

Задача №12

Побудувати проекції прямої m, яка проходить через т. А та паралельна прямій ℓ. Побудувати проекції горизонталі h, яка перетинає лінію ℓ.

 

Задача №13

Через точку В провести пряму ℓ, мимобіжну відносно прямої a. Пряма ℓ повинна проходити над прямою a.

 

 

Задача №14

Побудувати проекції фронталі f, яка знаходиться на відстані 20 мм від площини проекцій Π2 і перетинає задані паралельні прямі.

 

Задача №15

Побудувати проекції Δ ACB, якщо:

- CM – висота рівнобедреного трикутника;

- точка А – належить площині проекцій Π1;

- точка В – належить площині проекцій Π2

 

Задача №16

Через точку М провести пряму b, яка перетинає пряму a та вісь OZ.

 

Задача №17

За заданими слідами A і P прямої m побудувати її проекції.