Прийняті позначення, символи, скорочення

ЗМІСТ

ПРИЙНЯТІ ПОЗНАЧЕННЯ, СИМВОЛИ, СКОРОЧЕННЯ …………. ПЕРЕДМОВА…………………………………………………………….. ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 1. ПРЯМОКУТНІ ПРОЕКЦІЇ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ……………………. 1.1 Точка……………………………………………………………….. 1.2 Пряма. Взаємне положення прямих……………………………... 1.3 Площина. Точка і лінія в площині……………………………….. 1.4 Контрольний тест до інформаційного модуля 1………………... ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 2. ПОЗИЦІЙНІ ЗАДАЧІ НА ПРЯМОКУТНИХ ПРОЕКЦІЯХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ…………………………………………... 2.1 Взаємне положення площин. Перша позиційна задача………… 2.2 Взаємне положення прямої та площини. Друга 2.2 позиційна задача…………………………………………………... 2.3 Контрольний тест до інформаційного модуля 2………………… ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 3. БАГАТОГРАННИКИ……………… 3.1 Прямокутні проекції багатогранників…………………………… 3.2 Задачі інцидентності на багатогранниках (точка, лінія в гранях, перерізи, отвори)………………………………………………... 3.3 Контрольний тест до інформаційного модуля 3………………... ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 4. МЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ НА ПЕРЕТВОРЕНИХ ПРЯМОКУТНИХ ПРОЕКЦІЯХ…………………… 4.1 Заміна площин проекцій…………………………………………... 4.2 Плоско-паралельне переміщення………………………………… 4.3 Контрольний тест до інформаційного модуля 4………………… ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 5. КРИВІ ПОВЕРХНІ………………… 5.1 Загальна характеристика формоутворення кривих поверхонь 5.2 Прямокутні проекції поверхонь обертання……………………… 5.3 Прямокутні проекції поверхонь переносу……………………..... 5.4 5.4 Задачі інцидентності на кривих поверхнях (точка, лінія, перерізи, отвори)………………………………………………………… 5.5 Контрольний тест до інформаційного модуля 5………………… ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 6. ПОЗИЦІЙНІ ЗАДАЧІ НА ПРЯМОКУТНИХ ПРОЕКЦІЯХ ПОВЕРХОНЬ……………………….. 6.1 Третя позиційна задача…………………………………………..... 6.2 Четверта позиційна задача………………………………………... 6.3 П’ята позиційна задача…………………………………………..... 6.4 Контрольний тест до інформаційного модуля 6………………… ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 7. ОСНОВИ ІНЖЕНЕРНОЇ ГРАФІКИ В СЕРЕДОВИЩІ КОМПАС-3D…………………………........................ 7.1 Загальні відомості………………………………………………..... 7.2 Панелі інструментів……………………………………………….. 7.3 Створення нових документів……………………………………... 7.4 Інструментальні засоби геометричної побудови об’єктів системи КОМПАС-3D……………………………………………. 7.5 Створення робочого креслення…………………………………… 7.6 3D – моделювання в графічній системі КОМПАС……………… 7.7 Контрольний тест до інформаційного модуля 7………………… ЛІТЕРАТУРА…………………………………………………………….. УКРАЇНСЬКО-РОСІЙСЬКО-АНГЛІЙСЬКИЙ СЛОВНИК НАЙБІЛЬШ УЖИВАНИХ ТЕРМІНІВ…………………………………

 

 

ПРИЙНЯТІ ПОЗНАЧЕННЯ, СИМВОЛИ, СКОРОЧЕННЯ

 

1. Точки – A, B, C, D, E,…, Z; 1, 2, 3, …

2. Прямі – a, b, c, d, …z.

3. Горизонталь – h, фронталь – f.

4. Площини – α, β, γ, δ, …

5. Поверхні – Α, Β, Γ, Δ, Θ, Λ, Π,…

6. Кути – α, β, γ, δ, …

7. Площини проекцій: Π₁ - горизонтальна, Π₂ - фронтальна, Π₃ – профільна.

8. ∩ перетин фігур.

9. ║ - паралельність.

10. ≡ - збіг.

11. Осі проекцій: X₁₂ – поділяє площини проекцій Π₁ та Π₂, Y₁₃ – поділяє площини проекцій Π₁ та Π₃, Z ₂₃ – поділяє площини проекцій Π₂ та Π₃.

12. Позначення проекцій фігур такі же самі, але з доданням індексу відповідної площини проекцій.

 

ПЕРЕДМОВА

Сьогодення сучасної науки та техніки характеризується необхідністю створення, передачі та обробки великих обсягів інформації. Тому важливу роль у підготовці фахівця будь-якого інженерного напряму відіграють знання сукупності методів та засобів візуалізації технічних рішень. Однією з дисциплін, що дозволяють отримати навички, пов’язані з побудовою математичних і графічних моделей інженерних об’єктів, процесів та явищ, розробкою та оформленням різноманітної графічної і текстової конструкторської документації, є інженерна графіка, яка перш за все, вивчає методи синтезу та аналізу плоских зображень тривимірних об’єктів сучасними комп’ютерними засобами.

Останнім часом, завдяки розвитку та застосуванню в багатьох галузях науки і техніки комп’ютерного моделювання, що успішно замінює натурний експеримент, виникла можливість використання теоретичної основи інженерної графіки – нарисної геометрії як моделюючого інженерного апарата.

У цьому посібнику викладені основні методи відображення формоутворюючих елементів простору – точок, прямих, площин, методи геометричного моделювання, тобто створення об’єкта, що відповідав би наперед заданим умовам, складних фігур – багатогранників, кривих поверхонь, а також методи розв’язання на графічних моделях метричних та позиційних задач.

Весь матеріал розподілено на 7 інформаційних модулів, кожен з яких подано за наступною структурою: теоретичні відомості, комплект практичних задач з прикладами покрокового розв’язування типових задач, тест для самоперевірки. Таким чином, посібник орієнтований на дистанційне опанування дисципліни. Він з успіхом може бути використаний як студентами, що навчаються як на очній, так і заочній формах навчання всіх напрямів інженерії.

На базі можливостей віртуального навчального середовища eLearning Server 3000 кафедрою інженерної та комп’ютерної графіки Вінницького національного технічного університету розроблений та впроваджений дистанційний курс з дисципліни «Інженерна графіка». Для того, щоб навчатись в дистанційному курсі або використовувати його матеріали для вивчення дисципліни, Ви повинні:

1. Зайти на сайт дистанційного навчання ВНТУ за адресою:

 

http://elearn.vstu.edu.ua/

2. Ви потрапляєте на першу сторінку навчального порталу та входите в Подати заявку.

 

 

3. Вам відкриваються рубрики, на які розділені всі дистанційні курси. Вибираєте рубрику «Інженерія».

 

4. Після цього відкриється панель з переліком всіх дистанційних курсів. Ви знаходите дистанційний курс «Інженерна графіка» і натискаєте Подати заявку.

 

 

 

4. Відкривається форма, яку Ви повинні заповнити. Пункти, які позначені зірочкою (Облікове ім’я, Прізвище, Ім’я, По-батькові, Е-mail), заповнити обов’язково. Облікове ім’я (логін) Ви вибираєте самі, пишете його англійськими літерами (це ім’я, під яким Ви будете входити в систему). Наприклад, Денисюк Л. в системі зареєстрований під ім’ям denis; Ковальчук О. – kovalchyk; Шенгович В. – SHeng і т.д. В графі Примітки вкажіть свою групу.

 

Після заповнення карточки натисніть ОК.

5. Після цього система Вам повідомить, що Вашу заявку прийнято. Через деякий час на Вашу електронну адресу адміністратор центра дистанційної освіти (ЦДО) надішле логін і пароль, за якими Ви будете входити до дистанційного курсу. Всі запитання надсилайте електронною поштою викладачу (його електронну адресу Ви отримаєте в дистанційному курсі). Бажаємо Вам успіхів!!!

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 1

Точка

 

Теоретичною основою побудови технічних зображень є метод проекцій, який дає змогу діставати зображення просторових фігур на площині чи поверхні.

На рис.1.1 зображений приклад центрального проекціювання точок. Якщо взяти довільну точку S і сполучити її з іншими точками, то дістанемо в’язку прямих.

S – центр проекціювання;

SA, SB, SC – проекціювальні проміні;

П΄ - площина проекцій;

A, B, C - точки;

A’, B’, C’ - проекції точок на П΄

 

 

Рисунок 1.1 – Просторова модель

системи центрального проекціювання

 

Якщо проекціювальні промені спрямувати у одному відповідному напрямку то дістанемо метод паралельного проекціювання (рис.1.2). Паралельне проекціювання може бути прямокутним (ортогональним) або косокутним.

АA’, BB’, CC’ - проекціювальні

промені;

П΄ - площина проекцій;

A, B, C - точки;

A’, B’, C’ - проекції точок на

площину П΄.

 

 

Рисунок 1.2 – Просторова модель

системи паралельного проекціювання

 

Залежно від положення площин проекцій та центрів проекціювання можна діставати різні проекційно-зображувальні системи. Найбільш поширеною є система прямокутних ортогональних проекцій або метод Монжа. За цим методом обираються площини, які перпендикулярні одна до одної (рис. 1.3, а).

 

 

а) б)

 

 

 

в)

 

Рисунок 1.3 – Перетворення просторової моделі системи площин проекцій в проекційне креслення: а) просторова модель; б) проміжний етап трансформації; в) проекційне креслення.

 

Якщо горизонтальну площину проекцій, обернути навколо осі Х проти часової стрілки на 90⁰, а профільну площину проекцій так саме навколо осі Z (рис. 1.3, б), то отримаємо плоске зображення проекцій точки А (рис.1.3, в). Таке зображення має назву проекційного креслення або епюра Монжа.

Горизонтальна і фронтальна площини проекцій поділяють простір на чотири октанти. На рисунках 1.4, 1.5 показані приклади проекцій точок, що розташовані в різних октантах.

 

 

 

Рисунок 1.4 – Просторова модель системи площин проекцій з чотирьох октантів

 

Рисунок 1.5 – Проекційне креслення точок розташованих в чотирьох октантах простору

Задача №1

 

Записати координати точок А, В, С:

А(…, …, …);

В(…, …, …);

С(…, …, …).

 

 

Задача №2

 

Побудувати епюри точок А і В. Проаналізувати їх положення відносно площини Π₁.

Задача №3

 

Побудувати епюри точок за заданими в таблиці 1.1 значеннями координат.

 

Таблиця 1.1

 

	A	B	C	D	E	F	G
X
Y
Z

 

Задача №4

 

За двома заданими проекціями точок побудувати їх треті проекції.

 

 

Задача №5

 

Визначити положення горизонтальної

осі проекцій ОХ.

 

 

Задача №6

 

Побудувати горизонтальні проек-ції точок K і L за умови, що точка К знаходиться на відстані 25 мм від площини проекцій Π₂, а точка L належить до площини проекцій Π_2.

 

Задача №7

Для наданого рисунка:

а) побудувати епюри точок зображених на просторовій моделі системи площин проекцій;

б) записати координати побудованих точок;

в) знайти точки(у), найбільш віддалені від площини проекцій Π₁;

г) знайти точки(у), найбільш віддалені від площини проекцій Π₂;

д) знайти точки(у), найбільш віддалені від площини проекцій Π₃;

е) визначити, чи є точки, що рівновіддалені від однієї площини проекцій.

 

 

 

Задача №8

Побудувати проекції відрізків прямих АВ, CD, …, ST за заданими координатами вершин. Визначити положення прямих відносно системи площин проекцій.

 

Відрізок	X	Y	Z
AB	A
B
CD	C
D
EF	E
F
KL	K
L
MN	M
N
PR	P
R
ST	S
T

 

Приклад розв’язування:

 

1-й крок 2-й крок

 

 

3-й крок

Прямокутні проекції відрізка АВ утворені шляхом сполучення побудованих на попередніх кроках однойменних прямокутних проекцій його окремих точок.

 

 

Задача №9

Визначити на заданих прямих точку М, що належить площині проекцій Π1, та точку N, що належить площині проекцій Π2.

 

 

а) б) в)

Приклад типового розв’язування:

Прямокутні проекції М1 і М2 шуканої точки M визначені за умови їх належності однойменним проекціям прямої f та урахуванням нульового значення координати Z.

 

Задача №10

Побудувати прямокутні проекції прямих ℓ і m, які перетинаються в

т. А. Пряма ℓ - фронталь, пряма m – профільна пряма.

 

Задача №11

Прямі h (горизонталь) та ℓ (загального положення) перетинаються під кутом 90°. Побудувати прямокутні проекції прямих.

 

Задача №12

Побудувати проекції прямої m, яка проходить через т. А та паралельна прямій ℓ. Побудувати проекції горизонталі h, яка перетинає лінію ℓ.

 

Задача №13

Через точку В провести пряму ℓ, мимобіжну відносно прямої a. Пряма ℓ повинна проходити над прямою a.

 

 

Задача №14

Побудувати проекції фронталі f, яка знаходиться на відстані 20 мм від площини проекцій Π2 і перетинає задані паралельні прямі.

 

Задача №15

Побудувати проекції Δ ACB, якщо:

- CM – висота рівнобедреного трикутника;

- точка А – належить площині проекцій Π1;

- точка В – належить площині проекцій Π2

 

Задача №16

Через точку М провести пряму b, яка перетинає пряму a та вісь OZ.

 

Задача №17

За заданими слідами A і P прямої m побудувати її проекції.

 

 

Задача №18

Визначити положення площин. Записати в символьній формі їх позначення.

а) б) в) г) д)

 

Задача №19

Побудувати лінії рівня в заданих площинах.

 

 

а) б) в)

 

г) д) е)

Задача №20

Побудувати відсутні проекції точок за умови їх належності заданим площинам.

 

 

а) б) в)

 

 

г) д) е)

 

 

ж) з)

 

Задача №21

Побудувати фронтальну проекцію ∆ABC, яка належить площині α(fº∩h°).

 

Задача №22

а) Визначити графічно чи належить пряма m площині α;

б) Визначити графічно чи паралельна площина α(p∩f) прямій k.

 

а) б)

 

Задача №23

а) Взяти пряму m в фронтально-проекціювальну площину;

б) Взяти пряму h в горизонтальну площину;

в) Взяти пряму l в горизонтально-проекціювальну площину.

 

 

а) б) в)

 

 

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 2

Задача № 24

Побудувати проекції лінії взаємного перетину площин.

а) б)

в) г)

 

д) е)

Задача № 25

Побудувати площини паралельні заданим площинам.

 

 

 

а) б) в)

 

г) д) е)

 

Задача №26

Визначити графічно чи паралельні між собою пари площин.

а) б)

Задача № 27

Побудувати пряму паралельну заданій площині.

 

а) б) в)

Задача № 28

Визначити графічно чи паралельна задана пряма ℓ площині.

 

а) б)

 

Задача № 29

Побудувати проекції точки перетину прямої та площини.

а) б) в)

 

г) д) е)

 

ж) з) і)

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 3

БАГАТОГРАННИКИ

Задача №30

 

Побудувати профільну проекцію багатогранника. За умови належності точок граням багатогранника визначити проекції точок: (A1,A3)? (C2,C3)? (B1,B3)? (D2,D3)?

 

 

Задача №31

 

Побудувати горизонтальну проекцію багатогранника. За умови належності точок граням багатогранника визначити проекції точок: (A1,A3)? (C1,C2)? (B1,B3)? (D1,D2)?

 

 

Задача №32

 

Побудувати фронтальну проекцію багатогранника. За умови належності точок граням багатогранника визначити проекції точок: (A2,A3)? (C1,C2)? (B2,B3)? (D1,D2)?

 

Задача №33

Побудувати три проекції перерізів багатогранників площинами окремого положення

 

 

 

а) б)

 

 

в) г)

 

Задача №34

Побудувати три проекції наскрізних отворів

 

а) б)

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 4

Задача № 35

Побудувати додаткову проекцію багатогранника на площину проекцій Π₄.

 

 

Задача № 36

 

 

Визначити натуральну величину площини, заданої чотирикутником

Задача № 37

 

 

Визначити натуральну величину відрізка прямої a.

 

Задача № 38

Визначити натуральну відстань між точкою А та площиною α.

 

Задача № 39

 

Визначити:

а) натуральну величину двогранного кута при ребрі АВ;

б) натуральну величину грані АВС;

в) кут нахилу відрізка BD до площини Π₁.

Задача № 41

 

 

Визначити натуральну величину

відстані від точки А до прямої СD.

 

Задача № 42

Визначити натуральну величину

відстані між паралельними прямими.

 

Задача № 43

 

 

Визначити натуральну величину трикутного відсіку площини загального положення.

Задача № 44

Визначити натуральну величину

лінійного кута при вершині А.

 

Задача № 45

Визначити відстань між

двома мимобіжними прямими.

Задача № 46

Знайти:

а) проекції центра кола, вписаного в трикутник АВС;

б) проекції центра кола, описаного навколо трикутника АВС.

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 5

КРИВІ ПОВЕРХНІ

 

Поверхні обертання

Поверхні, утворені обертанням твірної лінії ℓ навколо нерухомої осі i, називаються поверхнями обертання (рис. 5.3). Геометрична частина визначника поверхні обертання – її вісь та одна твірна. Точки твірної A, B, C, D, E описують кола навколо осі. Ці кола знаходяться в паралельних між собою площинах і називаються паралелями. Найбільше і найменше з цих кіл отримали спеціальні назви – екватор і горло.

Площини, що проходять через вісь обертання, називають меридіональними, а лінії по яких вони перерізають поверхню – меридіанами. Площину, яка паралельна до фронтальної площини проекцій, називають головною меридіональною площиною, а лінію її перерізу з поверхнею обертання – головним меридіаном.

Визначник поверхні обертання буде мати вигляд:

 

Defθ = (ℓ, i) [A],

де (ℓ, i) – геометрична частина визначника, яка складається з твірної ℓ та осі обертання i;

[ A ] - алгоритмічна частина визначника, яка містить умову, що твірна ℓ обертається навколо осі i.

 

 

 

Рисунок 5.3 - Геометричні характеристики поверхні обертання

 

Найпростішими прикладами поверхонь обертання є конус, циліндр, сфера, тор.

Зображеннями поверхонь обертання на площинах проекцій є так звані обриси. При паралельному проекціюванні довільної поверхні Φ на площину проекцій Πί деякі проекціювальні прямі будуть дотикатись поверхні Φ і утворювати проекціювальну циліндричну поверхню θ (рис. 5.4). Лінія дотику поверхонь θ і Φ (k), котра може бути просторовою або плоскою кривою, називається контурною лінією, а її проекція ki на площині Πί – обрисом даної поверхні Φ.

 

 

 

Рисунок 5.4 - Утворення обрисів поверхонь

Якщо вісь обертання довільної поверхні займає проекціювальне положення відносно однієї площини проекцій, то обрисові лінії такої поверхні на дві інші площини проекцій будуть мати форму ідентичну формі головного меридіана.

Для створення графічної моделі будь-якої поверхні обертання у вигляді її обрисів за заданими проекціями геометричної частини її визначника достатньо побудувати сукупність паралелей, яку утворює множина точок твірної. Послідовність виконання графічних операцій з побудови графічної моделі поверхні обертання довільного виглядунаведена нижче:

 

Дано:

 

 

1. Визначаємо на твірній m точку, що знаходиться на мінімальній відстані від осі i. Для заданої твірної це буде точка 1 (11,12).

 

 

 

2. Будуємо проекції паралелі (горла), яку утворює внаслідок обертання навколо осі і точка 1.

 

 

3. Визначаємо на твірній m точку, що знаходиться на максимальній відстані від осі і. Для заданої твірної це буде точка 2 (21,22). Така точка внаслідок обертання утворить паралель, що матиме назву екватора.

 

 

4. Визначаємо на твірній декілька точок та будуємо відповідні проміжні паралелі, які утворюють визначені точки. До таких точок перш за все відноситься точка 3 (31,32).

 

5. З’єднаємо плавною кривою лінією крайні точки побудованих паралелей, отримуючи таким чином обрис поверхні обертання на фронтальній площині, або головний меридіан. На горизонтальній площині проекцій обрисовими лініями такої поверхні є проекції у вигляді кіл горла та екватора.

 

Розв’язання будь-якої позиційної задачі з використанням поверхні обертання вимагає знання алгоритму побудови проекцій точок, що належать цим поверхням. Такий алгоритм базується на побудові відповідних проекцій паралелей (або твірних, якщо поверхня лінійчата), на яких знаходиться та чи інша точка. Графічна інтерпретація алгоритму побудови наведена на рис. 5.5.

 

Рисунок 5.5 - Побудова точок на поверхнях обертання

Задача №47

Побудувати проекції поверхонь обертання за заданими проекція визначників:

 

 

 

 

Задача №48

Побудувати відсутні проекції точок за умови їх належності заданим поверхням

 

 

а) б)

 

 

в) г)

 

Поверхні переносу

Поверхні, утворені поступальним рухом твірної за заданою траєкторією, називають поверхнями переносу. Серед значної кількості таких поверхонь найбільш розповсюджені в інженерній практиці:

1. Лінійчаті поверхні з двома напрямними та площиною паралелізму, або так звані поверхні Каталана (Каталан Е. – бельгійський математик, який досліджував властивості цих поверхонь). В групу поверхонь Каталана, показаних на рис. 5.6, входять гіперболічний параболоїд, коноїд, циліндроїд. Всі перелічені поверхні утворюються внаслідок поступального руху прямої лінії, яка по всіх своїх положеннях перетинає дві напрямні лінії m і n залишаючись паралельною площині α, що і отримала назву „площина паралелізму”.

У гіперболічного параболоїда напрямні лінії – дві мимобіжні прямі (див.рис. 5.6 а), у коноїда – одна напрямна пряма, інша напрямна крива (див. рис. 5.6, б), у циліндроїда напрямні лінії – криві (див. рис. 5.6, в).

 

 

 

 

а) б)

 

 

в)

 

Рисунок 5. 6 - Поверхні Каталана

 

Окремим випадком гіперболічного параболоїда є площина, яка утворюється, коли напрямні лінії m і n перетинаються або паралельні між собою. Перелічені поверхні з площиною паралелізму є різновидом поверхонь з напрямною площиною. Тому визначник таких поверхонь буде мати вигляд:

Defθ = (ℓ, m, n, α) [A],

де [A] – алгоритмічна частина, що містить в собі характеристику руху прямолінійної твірної ℓ, яка при всіх положеннях зберігає постійний кут φ (для циліндроїда, коноїда та гіперболічного параболоїда кут складає 0˚) відносно напрямної площини α. Поверхні Каталана на прямокутних проекціях задають у вигляді відповідних проекцій каркасу – сукупності твірних.

Утворення прямокутних проекцій циліндроїда, коли напрямною площиною є площина окремого положення Σ, а напрямні лінії є плоскі криві m і n, показано на рис. 5.7.

 

 

 

Рисунок 5.7 - Утворення прямокутних проекцій циліндроїда

 

Послідовність побудови проекцій лінійного каркаса поверхні Каталана (коноїда) за заданими проекціями напрямних ліній m (m 1, m 2) і n (n1, n 2) та площини паралелізму α (α2) наведено нижче:

 

 

1. За умови площина паралелізму α (α2) займає фронтально-проекціювальне положення. Тому фронтальну проекцію першої лінії каркаса ℓ2 (1222) будуємо паралельно відповідній фронтальній проекції площини паралелізму α (α2). Горизонтальну проекцію лінії ℓ визначаємо шляхом побудови горизонтальних проекцій точок 1 і 2, які належать напрямним прямим m і n:

 

2. Наступну лінію каркаса будуємо аналогічно: починаємо з проведення

її фронтальної проекції (32,42), паралельно проекції площини паралелізму α (α2), а потім визначаємо за лініями зв’язку її горизонтальну проекцію (31,41):

 

 

 

3. Будуємо необхідну за щільністю множину ліній каркаса.

4. Для наочності виділяємо першу і останню лінії каркаса суцільними основними товстими лініями креслення. Визначаємо видимість ліній каркаса відносно площин проекцій шляхом використання штрихових ліній креслення:

 

 

 

2. Лінійчаті поверхні з однією напрямною (торси). В групу входять поверхні з ребром звороту, циліндрична поверхня, конічна поверхня. Торсом називають поверхню, над якою можна здійснити процес суміщення всіма її точками з площиною без складок та розривів. Такі поверхні ще називають розгортними поверхнями. Характерною ознакою розгортних поверхонь є те, що їх прямолінійні твірні перетинаються. Розгортну лінійчату поверхню можна уявити собі як граничний стан гранної поверхні з гранями, ширина яких наближається до нуля. Тому така поверхня може бути, як багатогранник, розгорнута на площину. В загальному вигляді розгортна поверхня утворюється як неперервна множина дотичних {ℓі } до просторової кривої лінії a і називається торсом (рис. 5.8).

 

 

Рисунок 5.8 - Формоутворення торсової поверхні загального вигляду

 

Криву a називають ребром звороту торса.

Найпростішими окремими випадками торса є конічна і циліндрична поверхні, у яких ребро звороту стягується в точку. У конічній поверхні, яка показана на рис. 5.9, а, це точка S – його вершина, у циліндричній поверхні (див. рис. 5.9, б – нескінченно віддалена точка перетину прямолінійних твірних S∞.

 

а) б)

 

 

Рисунок 5.9 - Окремі випадки торсових поверхонь

 

Плоску криву m (див. рис. 5.8 та рис. 5.9), яка утворюється внаслідок перерізу торсових поверхонь площиною, називають напрямною лінією.

Визначник цієї групи поверхонь має вигляд:

 

Defθ = (ℓ, а) [A],

де [A] – алгоритмічна частина, яка містить умову, що твірна ℓ при русі торкається ребра звороту а, або його перетворень у вигляді точок S та S∞.

Для задання торсової поверхні загального вигляду на прямокутних проекціях достатньо задати відповідні проекції її визначника - ребра звороту n (n 1, n 2) та побудувати сукупність прямокутних проекцій прямих, що утворюють лінійчатий каркас поверхні, показаної на рис. 5.10.

 

 

Рисунок 5.10 -Утворення прямокутних проекцій торсової поверхні загального вигляду

 

 

Рисунок 5.11 - Утворення прямокутних проекцій еліптичного конуса

 

Якщо як напрямну лінію m прийняти замкнуту плоску криву, то тіло, обмежене циліндричною поверхнею, має назву циліндра, який показано на рис. 5.12.

 

 

Рисунок 5.12 - Утворення прямокутних проекцій еліптичного циліндра

 

3. Поверхні паралельного переміщення. В групу таких поверхонь входять поверхні, що утворюються внаслідок поступального руху твірної лінії ℓ, одна з точок якої переміщується вздовж напрямної лінії m, а всі інші здійснюють паралельне переміщення. Визначник поверхонь паралельного переміщення, яка показана на рис. 5.13, має вигляд:

 

Defθ = (ℓ, m) [A],

де [A] – алгоритмічна частина, яка складається з умови паралельного переміщення точок твірної ℓ.

 

 

 

Рисунок 5.13 - Формоутворення поверхні паралельного переміщення

 

 

На прямокутних проекціях поверхні паралельного переміщення задають у вигляді проекцій їх визначника: сукупності відповідних проекцій напрямної лінії та твірних ліній. На рис. 5.14 показана поверхня паралельного переміщення, утворена незамкненою кривою лінією ℓ.

 

 

Рисунок 5.14 - Утворення прямокутних проекцій поверхні паралельного переміщення

 

Поверхня паралельного переміщення може бути утворена замкненою кривою лінією. Таку поверхню, приклад якої показано на рис. 5.15, відносять до класу каналових поверхонь.

 

 

 

 

Рисунок 5.15 - Утворення прямокутних проекцій поверхні паралельного переміщення з замкненою твірною лінією

 

 

Задача №49

Побудувати проекції каркасів поверхонь переміщення за заданими проекціями їх визначників:

а) гіперболічного параболоїда;

б) коноїда;

в) циліндроїда;

г) поверхні паралельного переміщення.

 

 

 

а) б)

 

 

в) г)

Задача №50

Побудувати відсутні проекції точок за умови їх належності:

а) еліптичному конусу; б) еліптичному циліндру.

 

 

 

а) б)

 

Задача №51