Вопрос 1.Радиус-вектор.Вектор перемещения.

Вопрос 1.Радиус-вектор.Вектор перемещения.

- радиус-вектор - это вектор, проведенный от точки отсчета О к рассматриваемой точке М.

- перемещение (или изменение радиус-вектора) – это вектор, соединяющий начало и конец траектории.

 

радиус-вектор в прямоугольной системе декартовых координат:

,где -называют координатами точки.

Вопрос 2.Скорость перемещения. Средняя и мгновенная скорости.

Скорость перемещения (вектор)-показывает, как изменяется перемещение в единицу времени.

Средняя: Мгновенная:

Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории,

а средняя – совпадает с вектором перемещения.

Проекция: Модуль:

Вопрос 3.Путь.Его связь с модулем скорости.

S – путь – это длина траектории (скалярная величина, > 0).

S-площадь фигуры, ограниченной кривой v(t) и прямыми t₁ и t₂.

Вопрос 4.Ускорение.Модуль ускорения.

Ускорение -по смыслу – показывает, как изменяется скорость в единицу времени.

Проекция: Модуль: Среднее значение:

Вопрос 5.Неравномерное движение точки по криволинейной траектории.

Если точка движется по криволинейной траектории, то целесообразно разложить ускорение на составляющие, одна из которых направлена по касательной и называется тангенциальным или касательным ускорением, а другая направлена по нормали к касательной, т.е. по радиусу кривизны, к центру кривизны и называется нормальным ускорением.

характеризует изменение скорости по направлению, – по величине.

, где r - радиус кривизны.

У точки, движущейся по криволинейной траектории, всегда есть нормальное ускорение, а тангенциальное – только тогда, когда скорость изменяется по величине.

(2, 3)Тема 2. КИНЕМАТИЧНСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

Вопрос 1.Получить кинематические уравнения движения r(t) и v(t).

Два дифференциальных и связанных с ними двух интегральных векторных уравнениях:

→ и - кинематические уравнения равнопеременного точки при .

Вопрос 2. Получить кинематические уравнения движения x(t),y(t),v_x(t) и v_y(t), для брошенного тела.

 

Выразив t из первого уравнения и, подставив его во второе, получим уравнение траектории:

Вопрос 3. Получить кинемат. уравнения движения x(t),y(t),v_x(t) и v_y(t), для тела, брошенного под углом.

Вопрос 4. Получить уравнение движения для тела, брошенного под углом.

Тема 3. КИНЕМАТИКА ВРАЩЕНИЯ.

Вопрос 1.Кинематические характеристики вращательного движения.

угловое перемещение - угол поворота радиус-вектора.

угловая скорость - показывает, как изменяется угол поворота радиус-вектора.

угловое ускорение - показывает, как изменяется угловая скорость за единицу времени.

Вопрос 2. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения точки

Вопрос 3.Получите кинематическое уравнения w (t) и ф (t).

то кинематические уравнения после интегрирования примут более простой вид: - кин. уравнения равноускор.(+) и равнозамедл.(-) вращательного движения.

(4, 5, 6) Тема 4. КИНЕМАТИКА АТТ.

Вопрос 1.Определение АТТ. Поступательные и вращательные движения АТТ.

АТТ называется тело, деформациями которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Все движения АТТ можно разложить на поступательное и вращательное, относительно некоторой мгновенной оси. Поступательное движение – это движение, при котором прямая, проведенная через любые две точки тела, перемещается параллельно самой себе. При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения. Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

В качестве кинематического уравнения вращательного движения АТТ достаточно знать уравнение j (t) для угла поворота радиус-вектора, проведенного от оси вращения к какой-либо точке тела (если ось неподвижна). Т.е., принципиально кинематические уравнения движения для точки и АТТ не отличаются.

Тема 5. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.

Тема 6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА.

Тема 7. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ.

Вопрос 7. Законы сохранения применительно к абсолютно упругому удару двух шаров.

Абсолютно упругий удар – это такой удар, при котором сохраняется кинетическая энергия всей системы.

Тема 10. СИЛОВЫЕ ПОЛЯ

Вопрос 3. Сокращение длины.

l₀ – длина стержня в системе, относительно которой он покоится (в нашем случае в К), l – длина этого отрезка в системе, относительно которой он движется (К¢). т.к. и найдем связь между l и l₀: .

Таким образом, из СТО следует, что размеры движущихся тел должны сокращаться в направлении их движения, но реального сокращения нет, т.к. все ИСО равноправны.

Вопрос 2.Идеальный газ

Простейшей моделью реальных газов является идеальный газ. С м а кро скопической точки зрения – это газ, для которого выполняются газовые законы (pV = const, p/T = const, V/T = const). С м и кро скопической точки зрения – это газ, для которого можно пренебречь: 1) взаимодействием молекул между собой и 2) собственным объемом молекул газа по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ.

Уравнение, связывающее между собой параметры состояния, называется уравнением состояния газа. Одно из простейших уравнений состояния - это

(; ; ) уравнение Менделеева – Клапейрона.

(n – концентрация, k – постоянная Больцмана) - уравнение состояния идеального газа в другой форме.

Тема 15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ

Вопрос 1. Основные понятия. Обратимые и необратимые процессы.

Обратимый процесс -это такой процесс перехода системы из состояния А в состояние В, при котором возможен обратный переход от В к А через те же промежуточные состояния и при этом в окружающих телах не происходит никаких изменений. Система называется изолированной, если она не обменивается энергией с окружающей средой. На графике состояния обозначаются точками, а процессы – линиями.

Величины, которые зависят только от состояния системы и не зависят от процессов, посредством которых система пришла в данное состояние, называются функциями состояния. Величины, значения которых в данном состоянии зависят от предшествующих процессов, называются функциями процессов - это теплота Q и работа A,их изменение обозначают часто как dQ, dA или . (d - греческая буква - дельта)

Работа и теплота – это две формы передачи энергии от одних тел к другим. При совершении работы меняется относительное расположение тел или частей тела. Передача энергии в виде теплоты осуществляется при контакте тел – за счет теплового движения молекул.

К внутренней энергии относят: 1)кинетическую энергию теплового движения молекул (но не кинетическую энергию всей системы в целом), 2)потенциальную энергию взаимодействия молекул между собой, 3)кинетическую и потенциальную энергию колебательного движения атомов в молекуле, 4)энергию связи электронов с ядром в атоме, 5)энергию взаимодействия протонов и нейтронов внутри ядра атома. Эти энергии по величине очень сильно отличаются друг от друга, например, энергия теплового движения молекул при 300 К ~ 0,04 эВ, энергия связи электрона в атоме ~ 20-50 эВ, а энергия взаимодействия нуклонов в ядре ~10 МэВ. Поэтому эти взаимодействия рассматривают по отдельности.

Внутренняя энергия идеального газа – это кинетическая энергия теплового движения его молекул. Она зависит только от температуры газа. Ее изменение имеет одинаковое выражение для любых процессов в идеальных газах и зависит только от начальной и конечной температур газа. - внутренняя энергия идеального газа.

Тема 16.

Вопрос 1. Энтропия

II начало термодинамики, как и I начало, является обобщением большого числа опытных фактов и имеет несколько формулировок.

Введем сначала понятие «энтропия», которое играет ключевую роль в термодинамике. Э нтропия - S – одна из важнейших термодинамических функций, характеризующая состояние или возможные изменения состояния вещества – это многогранное понятие.

1) Энтропия – это функция состояния. Введение таких величин ценно тем, что при любых процессах изменение функции состояния одинаково, поэтому сложный реальный процесс можно заменить «выдуманными» простыми процессами. Например, реальный процесс перехода системы из состояния А в состояние В (см. рис.) можно заменить на два процесса: изохорический А®С и изобарический С®В.

Энтропия определяется следующим образом.

	«Бесконечно малое изменение энтропии равно элементарному количеству теплоты, получаемому системой, отнесенному к температуре, при которой это тепло передается»
	конечное изменение энтропии. Величину dQ/T называют приведенной теплотой, поэтому можно дать такое определение: изменение энтропии равно сумме приведенных теплот.

Для обратимых процессов в идеальных газах можно получить формулы для вычисления энтропии в различных процессах. Выразим dQ из I начала и подставим в выражение для dS.

общее выражение для изменения энтропии в обратимых процессах.

 

Интегрируя, получим выражения для изменения энтропии в различных изопроцессах в идеальных газах.

Вопрос 2,3,4.изобарический, изохорический, изотермический

p=const изобарический	+
V=const изохорический
T=const изотермический
адиабатический	dQ=0 ® dS=0® S=const

Во всех расчетах энтропии имеет значение только разность энтропий конечного и начального состояний системы

 

2) Энтропия мера рассеяния энергии.

	запишем I начало термодинамики для обратимого изотермического процесса, учитывая, что dQ=T×dS и выразим работу dА
термодинамическая функция называется свободной энергией величина называется связанной энергией
Из формул можно сделать вывод, что в работу можно перевести не весь запас внутренней энергии системы U. Часть энергии TS нельзя перевести в работу, она рассеивается в окружающей среде. И эта «связанная» энергия тем больше, чем больше энтропия системы. Следовательно, энтропию можно назвать мерой рассеяния энергии.

3) Энтропия – мера беспорядка системы

Введем понятие термодинамической вероятности.Пусть мы имеет ящик, разделенный на n отсеков. В ящике по всем отсекам свободно перемещается N молекул. В первом отсеке окажется N₁ молекул, во втором отсеке N₂ молекул,…,

в n -ом отсеке - N_n молекул. Число способов w, которыми можно распределить N молекул по n состояниям (отсекам) называется термодинамической вероятностью. Иначе говоря, термодинамическая вероятность показывает, сколькими микро распределениями можно получить данное макро распределение Она вычисляется по формуле: [1]

Для примера вычисления w рассмотрим систему, состоящую из трех молекул 1, 2 и 3, которые свободно перемещаются в ящике с тремя отсеками. [2]

В данном примере N = 3 (три молекулы) и n = 3 (три отсека), молекулы считаются различимыми.

В первом случае макрораспределение – это равномерное распределение молекул по отсекам, оно может осуществиться 6-ью микрораспределениями. Вероятность такого распределение самая большая. Равномерное распределение можно назвать «беспорядком» (по аналогии с разбросанными вещами в комнате) В последнем случае, когда молекулы собираются только в одном отсеке вероятность наименьшая. Проще говоря, из повседневных наблюдений мы знаем, что молекулы воздуха более или менее равномерно распределяются в помещении, и практически совершенно невероятно, чтобы все молекулы собрались в одном углу комнаты. Однако теоретически такая вероятность существует.

Больцман постулировал, что энтропия прямо пропорциональна натуральному логарифму термодинамической вероятности:

 

Следовательно, энтропию можно назвать мерой беспорядка системы.

 

Вопрос 6.Теперь мы можем сформулировать II начало термодинамики.

1)При любых процессах, происходящих в теплоизолированной системе, энтропия системы не может убывать:

Знак «=» относится к обратимым процессам, знак «>» - к необратимым (реальным) процессам. В незамкнутых системах энтропия может меняться любым образом.

Иначе говоря, в замкнутых реальных системах возможны только те процессы, при которых энтропия возрастает. Энтропия связана с термодинамической вероятностью, следовательно, ее увеличение в замкнутых системах означает рост «беспорядка» системы, т.е. молекулы стремятся прийти в одинаковое энергетическое состояние и с течением времени все молекулы должны иметь одинаковую энергию. Отсюда был сделан вывод о стремлении нашей Вселенной к тепловой смерти. «Энтропия мира стремится к максимуму» (Клаузиус). Так как законы термодинамики выведены на основе человеческого опыта в масштабах Земли, то вопрос об их применимости в масштабах Вселенной остается открытым

 

2) «Теплота не может сама собой переходить от менее нагретого к более нагретому телу» (Клаузиус).

Для этого требуется работа внешних сил. Теоретически переход теплоты от холодного тела к горячему возможен. Но отношение вероятностей перехода, например, 1 эрг = 10^-^7Дж теплоты от тела с температурой 300 К к телу с температурой 301 К и наоборот составляет примерно 1: , но передача теплоты в количестве 10^-^11эрг =10^-^18Дж дает уже отношение вероятностей @ 2,7.

 

3) «Невозможно построить вечный двигатель второго рода, т.е. такую периодически действующую машину, действие которой состояло бы только в поднятии груза и охлаждении теплового резервуара» (Томсон, Планк)

Обязательно должно быть еще тело, которому «придется» отдать часть теплоты. Просто отнимать тепло от некоторого тела и превращать его в работу невозможно потому, что такой процесс сопровождается уменьшением энтропии нагревателя. Следовательно, нужно еще одно тело – холодильник, энтропия которого будет увеличиваться, чтобы DS = 0. Т.е. у нагревателя забирается теплота, за счет этого может быть совершена работа, но часть теплоты «теряется», т.е. передается холодильнику.

Вопрос 7. КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ (ЦИКЛЫ)

Круговым процессом или циклом называется такой процесс, при котором система, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Если процесс осуществляется по часовой стрелке, он называется прямым, против часовой стрелки – обратным. Т.к. внутренняя энергия является функцией состояния, то в круговом процессе

система может получать или отдавать теплоту, совершать работу, но внутренняя энергия системы при этом остается постоянной.

Устройство, в котором затрачивается теплота, а получается работа, называется тепловой машиной. Все тепловые машины работают по прямому циклу, состоящему из различных процессов. Устройство, работающее по обратному циклу, называется холодильной машиной. В холодильной машине затрачивается работа, а в результате от холодного тела отнимается теплота, т.е. происходит дополнительное охлаждение этого тела.

Рассмотрим цикл Карно для идеальной тепловой машины. Предполагается, что рабочее тело – идеальный газ, трение отсутствует. Этот цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, реально не осуществим, но он сыграл огромную роль в развитии термодинамики и теплотехники и позволил проанализировать коэффициент полезного действия (КПД) тепловых машин.

1-2 изотермическое расширение		сообщаемое тепло идет на работу газа
2-3 адиабатическое расширение		газ совершает работу за счет внутренней энергии
3-4 изотермическое сжатие		внешние силы сжимают газ, передавая теплоту окружающей среде
4-1 адиабатическое сжатие		над газом совершается работа, его внутренняя энергия увеличивается
( - из уравнений адиабат)	полная работа за цикл; на графике полная А равна площади, охватываемой кривой 1-2-3-4-1

Таким образом, за цикл газу было сообщено Q₁ теплоты, холодильнику передано Q₂ теплоты и получена работа А.

	работа, полученная за один цикл
Т1 – температура нагревателя Т2 – температура холодильника	КПД цикла Карно – это максимально возможный КПД тепловых машин.

Из полученного выражения следует, что: 1) КПД всегда меньше единицы,

2)КПД не зависит от рода рабочего тела, а только от температуры нагревателя и холодильника, 3)чтобы повысить КПД нужно увеличить температуру нагревателя и уменьшить температуру холодильника. В современных двигателях в качестве нагревателя используются горючие смеси - бензин, керосин, дизельное топливо и др., имеющие определенные температуры горения. Холодильником служит чаще всего окружающая среда. Следовательно, реально увеличить КПД можно только за счет уменьшения трения в различных узлах двигателя и машины.

 

 

Тема 18.Вопрос 1.АГРЕГАТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА

Молекулы представляют собой сложные системы электрически заряженных частиц. Основная масса молекулы и весь ее положительный заряд сосредоточены в ядрах, их размеры порядка 10^-15 - 10^-14 м, а размер самой молекулы, включая электронную оболочку, примерно 10^-10 м. В целом молекула электрически нейтральна. Электрическое поле ее зарядов в основном сосредоточено внутри молекулы и за ее пределами резко убывает. При взаимодействии двух молекул одновременно проявляются и силы притяжения и силы отталкивания, они по-разному зависят от расстояния между молекулами (см рис.- пунктирные линии). Одновременное действие межмолекулярных сил дает зависимость силы F от расстояния r между молекулами, характерную и для двух молекул, и атомов, и ионов (сплошная кривая). На больших расстояния молекулы практически не взаимодействуют, на очень малых расстояния преобладают силы отталкивания. На расстояниях, равных нескольким диаметрам молекул действуют силы притяжения. Расстояние r_o между центрами двух молекул, на котором F=0, - это положение равновесия. Так как сила связана с потенциальной энергией F=-dE_пот /dr, то интегрирование даст зависимость потенциальной энергии от r (потенциальная кривая). Равновесное положение соответствует минимуму потенциальной энергии - U_min. Для различных молекул вид потенциальной кривой аналогичен, но числовые значения r_o и U_min различны и определяются природой данных молекул.

Кроме потенциальной, молекула обладает еще и кинетической энергией. Минимальная потенциальная энергия у каждого сорта молекул своя, а кинетическая энергия зависит от температуры вещества (Е_кин ~ кТ). В зависимости от соотношения между этими энергиями данное вещество может находиться в том или ином агрегатном состоянии. Например, вода может быть в твердом состоянии (лед), в жидком и в виде пара.

кТ << Umin	твердое состояние	молекулы образуют кристалл и колеблются около положений равновесия
кТ >> Umin	газообразное состояние	тепловое движение препятствует соединению молекул
кТ @ Umin	жидкое состояние	молекулы непрерывно обмениваются местами, но расстояние между ними остается примерно одинаковым

У инертных газов U_min невелики, поэтому они переходят в жидкое состояние при очень низких температурах. У металлов большие величины U_min поэтому они находятся в твердом состоянии вплоть до температуры плавления – это могут быть сотни и тысячи градусов.

Вопрос 3.

Смачивание приводит к тому, что на стенках сосуда жидкость как бы «ползет» по стенке, и ее поверхность искривляется. В широком сосуде это искривление практически незаметно. В узких трубках – капиллярах – этот эффект можно наблюдать визуально. За счет сил поверхностного натяжения создается дополнительное (по сравнению с атмосферным) давление Dр, направленное к центру кривизны поверхности жидкости.

формула Лапласа для дополнительного давления над (при смачивании) или под (при несмачивании) искривленной поверхностью жидкости (см. рис.)   Поверхность может быть выпуклой с разными радиусами кривизны R1 и R2 (+) или выпукло - вогнутой (±)

Дополнительное давление вблизи искривленной поверхности жидкости D р приводит к подъему (при смачивании) или опусканию (при несмачивании) жидкости в капиллярах.

При равновесии дополнительное давление равно гидростатическому давлению столбика жидкости. Из формулы Лапласа для капилляра круглого сечения D p = 2s / R, гидростатическое давление р = r g h. Приравнивая Dр = р, найдем h.

	высота подъема жидкости в капилляре
s – коэффициент поверхностного натяжения q - краевой угол смачивания r - плотность жидкости R – радиус кривизны поверхности жидкости r = R×cosq – радиус капилляра

Из формулы видно, что чем меньше радиус капилляра, тем выше подъем (или опускание) жидкости.

Явление капиллярности чрезвычайно распространено в природе и технике. Например, проникновение влаги из почвы в растения осуществляется посредством подъема ее по капиллярным каналам. К капиллярным явлениям относится также такое явление, как движение влаги по стенам помещения, приводящее к сырости. Очень большую роль капиллярность играет при добыче нефти. Размеры пор в породе, содержащей нефть, чрезвычайно малы. Если добываемая нефть окажется несмачивающей по отношению к породе, то она закупорит канальца, и извлечь ее будет очень трудно. Добавляя к жидкости некоторые вещества даже в очень малом количестве, можно существенно изменить ее поверхностное натяжение. Такие вещества называются поверхностно-активными веществами.

[1] N! =1×2×3××× N - факториал – это произведение целых чисел

[2] Термодинамические законы не применимы к 3 молекулам. Пример взят для простоты вычислений.

[3] Фаза – это совокупность частей системы, обладающих одинаковым химическим составом и находящихся в одинаковом состоянии.

Вопрос 1.Радиус-вектор.Вектор перемещения.

- радиус-вектор - это вектор, проведенный от точки отсчета О к рассматриваемой точке М.

- перемещение (или изменение радиус-вектора) – это вектор, соединяющий начало и конец траектории.

 

радиус-вектор в прямоугольной системе декартовых координат:

,где -называют координатами точки.