Деление классов, объемы которых находятся В отношениях соподчинения, противоположности, противоречия не выполняется, так как их произведения всегда является пустым.

Основные законы логики классов

Операции над классами подчиняются определенным законам. Обоснование отдельных законов производится с помощью круговых схем; при этом каждому классу на круговой схеме соответствует определенная плоскость. Результат операции, выполняемой в первую очередь, на схемах заштриховывается горизонтальной линией, последующие – вертикальной.

Законы сложения и умножения

1. Закон идемпотентности (подобия) – класс, сложенный сам с собою, или умноженный на себя, равен самому себе.

AÈA=A

АÇА=А

2. Закон коммутативности – результат сложения или умножения классов не зависит от того, в каком порядке берутся эти классы.

AÈВ= ВÈA

АÇВ=ВÇА

3. Закон ассоциативности – результат сложения или умножения более чем двух классов не зависит от порядка выполнения действий.

AÈ(ВÈС)= (АÈВ)ÈС

АÇ(ВÇС)= (АÇВ)ÇС.

4.1. Закон элиминации (поглощения) для сложения относительно умножения – сумма какого-либо класса и произведения двух классов, одним из сомножителей которого является этот класс, равна этому классу.

AÈ(АÇВ) = А

 

= А

 

 

4.2. Закон элиминации (поглощения) для умножения относительно сложения – произведение какого-либо класса и суммы двух других классов, одним из слагаемых которой является этот класс, равно умножаемому классу.

АÇ(А В) = А.

 

= А

 

 

5.1. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения.

АÇ(ВÈС) = (АÇВ)È(АÇС).

=

 

 

5.2. Закон дистрибутивности сложения относительно умножения.

AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC)

 

=

 

Часть вторая. Суждение

Суждение как форма мышления

Суждение можно определить, как форму мысли, содержащую описание некоторой ситуации и утверждение или отрицание наличия этой ситуации в действительности, в связи с чем суждение определяют обычно как утверждение или отрицание чего-либо о чем-либо. Впрочем, отрицание наличия некоторой ситуации в действительности есть утверждение ее отсутствия. Поэтому можно сказать, что суждение всегда есть некоторое утверждение, а именно – утверждение о наличии или отсутствии некоторой ситуации в действительности. Таким образом, именно наличие утверждения или отрицания описываемой ситуации отличает суждение от понятия. Характерной особенностью суждения с логической точки зрения является то, что оно – при логически правильном его построении – всегда истинно или ложно. И связано это как раз с наличием в суждении утверждения или отрицания чего-либо. Понятие, которое в отличие от суждения, содержит только описание предметов и ситуаций с целью их мысленного выделения не имеет истинностных характеристик. Суждение следует отличать и от предложения. Звуковая оболочка суждения – предложение. Суждение всегда является предложением, но не наоборот. Суждение выражается в повествовательном предложении, в котором утверждается, отрицается или сообщается что-либо. Таким образом, вопросительное, побудительное и повелительное предложения суждениями не являются. Структуры предложения и суждения не совпадают. Грамматический строй одного и того же предложения различается в разных языках, тогда как логический строй суждения всегда одинаков у всех народов. Следует отметить также отношения между суждением и высказыванием. Высказывание – это термин математической логики, которым обозначается предложение естественного или искусственного языка, рассматриваемое с точки зрения его истинности, ложности, действительности, необходимости и возможности. Суждение является содержанием любого высказывания. Такие предложения как «число n является простым» невозможно считать высказыванием, так как о нем нельзя сказать является ли оно истинным или ложным. В зависимости от того, какое содержание будет иметь переменная «n» можно установить его логическое значение. Подобные выражения называются пропозициональными переменными. Высказывание обозначается одной какой-либо буквой латинского алфавита. Оно рассматривается как неразложимая единица. Это значит, что в нем не разглядывается никакая структурная единица в качестве его части. Такое высказывание называется атомарным (элементарным) и соответствует простому суждению. Из двух и более атомарных высказываний посредством логических операторов (связок) образуется сложное или молекулярное высказывание. В отличие от высказывания суждение представляет собой конкретное единство субъекта и объекта, связанных по смыслу.

Примеры суждений и высказываний:

Простое высказывание – А; простое суждение – «S есть (не есть) P».

Сложное высказывание - A É B; сложное суждение – «если S₁ есть P₁, то S₂ есть P₂»

Состав простого суждения

Простое суждение – есть утверждение о наличии или отсутствии каких-ли­бо признаков у какого-нибудь отдельного предмета, у части или у всех предметов некоторого класса.

Структура простого суждения содержит:

Во-первых, один или несколько субъектов суждения или логических подлежащих – это части, представляющие предметы, о которых нечто в суждении утверждается или отрицается.

Во-вторых, предикат суждения или логическое сказуемое – это часть суждения, выражает то, что утверждается или отрицается о предметах, которые представляют субъекты.

Вместе субъект и предикат называются терминами суждения и обозначаются соответственно латинскими символами S и P.

Кроме субъектов и предикатасуждение содержит связку, которая, как правило, выражается словами «есть», «суть», «является», «быть».

Для наглядной иллюстрации структуры суждения разберем два примера:

В суждении «Солнце есть раскаленное небесное тело» субъект один – «Солнце», предикат – «раскаленное небесное тело», а связка выражена словом «есть».

В суждении «Земля вращается вокруг Солнца» два субъекта – «Земля» и «Солнце», а предикатом является отношение «вращается».