Операции над классами (множествами)

Класс, или множество (то есть совокупность предметов, охватываемая объемом понятия) может включать в себя подклассы, или подмножества. Так, например, класс «городов» включает в себя подкласс «городов России», класс «рек» – подкласс «рек Сибири» и т.д.

Понятие, из объема которого происходит выделение подкласса, называется родовым или родом; понятие, объем которого выделяется из родового понятия – видовым или видом (например, наука – родовое понятие, химия – видовое).

При рассмотрении операций над классами в логике вводятся следующие обозначения:

А, В, С …– произвольные классы;

1 – универсальный класс;

0 – пустой класс;

È – знак объединения классов (сложения);

Ç – знак пересечения классов (умножения);

А´, (; ù А) – дополнение к классу А.

Операции над классами иллюстрируются круговыми схемами, универсальный класс обозначается прямоугольником.

Класс (множество) – это совокупность предметов, которые можно мыслить вместе на основании удовлетворения ими каким-либо условиям или признакам. Классы могут быть единичными, то есть состоящими только из одного элемента; конечными, состоящими из конечного числа элементов; бесконечными – элементы которых принципиально не допускают пересчета, например, бесконечным классом является класс всех четных чисел; неопределенными; пустыми, то есть вовсе не содержать элементов и универсальными, которые противополагаются пустым классам и состоят из всех объектов подлежащей рассмотрению предметной области.

Подкласс (подмножество) – это такое множество, каждый элемент которого в то же время является элементом более широкого множества.

Из двух и более классов с помощью определенных операций можно образовать новый класс. Основными операциями над классами являются объединение классов (сложение), пересечение классов (умножение), образование дополнения к классу (отрицание) и вычитание класса (разность).

Объединением классов (сложением) называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из таких объектов, каждый из которых является элементом, по крайней мере, одного из слагаемых классов. Полученный в результате сложения класс АÈВ называется суммой.

Например:

А – класс депутатов Государственной Думы.

В – класс юристов.

АÈВ – класс, содержащий всех депутатов Госдумы и всех юристов.

· Свойства объединения (сложения):

AÈB=BÈA AÈB=ù(ùAÇùB) AÈ0=A

AÈ(BÈC)=(AÈB) ÈC AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC) ùAÈùB=ù(AÇB)

AÈA=A AÈ1=1

· Операция объединения (сложения) над классами, объемы которых находятся в разных отношениях:

Равнозначность: AÈB=A, AÈB=B

 

= =

Пересечение (частичное совпадение): AÈB=AB

Подчинение: AÈB=A

=

Соподчинение: AÈB=С

=

Противоположность: AÈB=A, AÈB=В, AÈB¹AВ

= или, но не А и В (АВ).

Противоречие: AÈB=С

=

Пересечением классов (умножением) – называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из общих умножаемым классам элементов. Класс АÇВ, полученный в результате умножения, называется произведением.

Например: Произведением классов «студент» (А) и «шахматист» (В) является новый класс «студент-шахматист» (АÇВ).

При умножении множеств, находящихся в отношении несовместимости, получается нулевой класс. Например, умножение классов «гуси» и «утки» дает пустое множество, так как нет таких объектов, которые одновременно были бы и гусями и утками.

· Свойства пересечения (умножения):

AÇB=BÇA AÇA=A ùAÈùB=ù (AÇB)

AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC AÇ1=A

AÇ0=A AÇB=ù (ùAÈùB)

· Операция пересечения (умножения) над классами, объемы которых находятся в разных отношениях:

Равнозначность: AÇB=A, AÇB=B

= =

Пересечение (частичное совпадение): AÇB=С

= А и В

Подчинение: AÇB=B

=

Соподчинение: AÇB=Æ

= Æ

Противоположность: AÇB=Æ

 

= Æ

Противоречие: AÇB=Æ

= Æ

Вычитанием классов (разностью) – называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из элементов уменьшаемого класса, не принадлежащих вычитаемому классу.

Например: А/В

А – класс «химический элемент».

В – класс «металл».

В результате вычитания получается класс, состоящий из химических элементов, не являющихся металлами.

· Свойства вычитания (разности):

A/А=Æ A/ùA =А ùA/А=ùA

· Операция вычитания (разности) над классами, объемы которых находятся в разных отношениях:

Равнозначность: A/B=В/A=Æ

= Æ

Пересечение (частичное совпадение): A/B=А и ùВ, В/А=В и ùA

= А/В = А и ùВ

= А/В = В и ùA

 

Подчинение: A/B= А и ùB, В/А=Æ

= A/B = А и ùB

Соподчинение: A/B=А, В/А=В

= A/B = А

= В/А = В

Противоположность: A/B=А, В/А=В

= A/B = А

= В/А = В

 

Противоречие: A/B=А, В/А=В

= A/B = А

= В/А = В

Образованием дополнения к классу (отрицанием) – называется логическая операция, состоящая в образовании нового класса А´ (), который состоит из элементов универсального класса, не принадлежащих дополняемому классу А.

Чтобы образовать дополнение, нужно класс А исключить из универсального класса: 1-А=А´. Например, чтобы образовать дополнение к классу «студент», надо подвергнуть этот класс отрицанию. Полученный класс «не-студент» является дополнением к классу «студент». Класс студентов, сложенный с классом «не-студентов», образует универсальный класс учащихся (AÈA´=1).

Между объединением, пересечением и отрицанием работают следующие равносильности:

; ; ;

· Свойства дополнения:

Отношения между дополняемым классом и его дополнением есть отношения противоречия, которое характеризуется тем, что каждый из объектов какой-нибудь универсальной области может мыслиться в объеме только одного из противоречащих понятий. Из этого свойства противоречащих понятий вытекают все законы операции дополнения.

1. Сумма класса и его дополнения равна универсальному классу:

АÈA'=1.

2. Сумма дополняемого класса и универсума равна универсальному классу:

АÈ1=1.

3.
Произведение дополняемого класса и универсума равно дополняемому классу: АÇ1=А.

4. Произведение класса и его дополнение является пустым классом: АÇA'=0.

5. Сумма пустого класса с произвольным классом равна этому классу:

AÈ0=A.

6. Произведение пустого класса с произвольным классом является пустым классом: АÇ0=0.

7. Дополнением универсума является пустой класс: 1'=0.

8. Дополнением пустого класса является универсум: 0'=1.

9. Дополнением дополнения является дополняемый класс: (A')'=A.

Делением классов (обратным умножением) – называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из определенной части делимых классов.

· Операция деления (обратного умножения) над классами, объемы которых находятся в разных отношениях:

Равнозначность: (AÇВ):А=(АÇB):В=A=В

= = = А = В

Пересечение (частичное совпадение): (AÇВ):А=В, (АÇB):В=A

= (AÇВ):А = В

= (AÇВ):В = A

 

Подчинение: (AÇВ):А=В, (АÇB):В=A

= = (AÇВ):А = В

= = (AÇВ):В = А