Изучение теоремы Котельникова.

Цель лабораторной работы:

Изучение теоремы Котельникова в среде NI LabVIEW. Исследование явления алиасинга при превышении частотой сигнала частоты Найквиста.

Теоретическая часть.

Большинство реальных сигналов (например, звуковых) являются непрерывными функциями. Для обработки на компьютере требуется перевести сигналы в цифровую форму. Один из способов это сделать – равномерно по времени измерить значения сигнала на определенном промежутке времени и ввести полученные значения амплитуд в компьютер. Если делать измерения достаточно часто, то по полученному дискретному сигналу можно будет достаточно точно восстановить вид исходного непрерывного сигнала.

Процесс замера величины сигнала через равные промежутки времени называется равномерной (по времени) дискретизацией. Многие устройства ввода данных в компьютер осуществляют дискретизацию. Например, звуковая карта дискретизирует сигнал с микрофона, сканер дискретизирует сигнал, поступающий с фотоэлемента. В результате дискретизации непрерывный (аналоговый) сигнал прееводится в последовательность чисел. Устройство, выполняющее этот процесс, называется аналогово- цифровым преобразователем (АЦП, analog-to-digital converter, ADC). Частота, с которой АЦП производит замеры аналогового сигнала и выдает его цифровые значения, называется частотой дискретизации.

Рис.2.1Преобразование аналогового сигнала в цифровой

Встает вопрос, а при каких условиях на исходный сигнал и на частоту дискретизации можно с необходимой степенью точности восстановить исходный сигнал по его цифровым значениям? Ответ на этот вопрос дает важная теорема Котельникова. Однако, чтобы ее понять, необходимо познакомиться с понятием спектра непрерывного сигнала.

Как известно из анализа, любая непрерывная функция может быть разложена на конечном отрезке в ряд Фурье. Смысл этого разложения состоит в том, что функция представляется в виде суммы ряда синусоид с различными амплитудами и фазами и с кратными частотами. Коэффициенты (амплитуды) при синусоидах называются спектром функции.

У относительно гладких функций спектр быстро убывает (с ростом номера коэффициенты быстро стремятся к нулю). Для относительно «изрезанных» функций спектр убывает медленно, т.к. для представления разрывов и «изломов функции нужны синусоиды с большими частотами.

Говорят, что сигнал имеет ограниченный спектр, если после определенного номера все коэффициенты спектра равны нулю. Другими словами, на заданном отрезке сигнал представляется в виде конечной суммы ряда Фурье. В этом случае говорят, что спектр сигнала лежит ниже частоты F (ограничен частотой F), где F – частота синусоиды при последнем ненулевом коэффициенте ряда Фурье.

Теорема Котельникова-Найквиста-Шеннона: если сигнал таков, что его спектр ограничен частотой F, то после дискретизации сигнала с частотой не менее 2F можно восстановить исходный непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно проинтерполировать цифровой сигнал «между отсчетами» специального вида функциями.

На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, известно, что большинство звуковых сигналов можно с некоторой степенью точности считать ограниченными спектром. Их спектр, в основном, лежит ниже 20 кГц. Это значит, что при дискретизации с частотой не менее 40 кГц, мы можем потом более-менее точно восстановить исходный аналоговый сигнал по его цифровым отсчетам. Абсолютной точности достичь не удастся, так как в природе не бывает сигналов с идеально ограниченным спектром.

Устройство, которое интерполирует дискретный сигнал до непрерывного, называется цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП, digital-to-analogue converter, DAC). Эти устройства применяются, например, в проигрывателях компакт-дисков для восстановления звука по цифровому звуковому сигналу, записанному на компакт-диск. Частота дискретизации звукового сигнала при записи на компакт-диск составляет 44100 Гц. Таким образом, и ЦАП на CD-плеере работает на частоте 44100 Гц.

 

Наложение спектров (алиасинг)

Что произойдет, если попытаться оцифровать сигнал с недостаточной для него частотой дискретизации (или если спектр сигнала не ограничен)? В этом случае по полученной цифровой выборке нельзя будет верно восстановить исходный сигнал. Восстановленный сигнал будет выглядеть таким образом, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от половины частоты дискретизации, перешли в нижнюю часть спектра и наложились на частоты, уже присутствующие в нижней части спектра. Этот эффект называется наложением спектров или алиасингом (aliasing).

Предположим, что мы попытались оцифровать музыку, спектр которой ограничен 20 кГц, но при записи какой-то электроприбор (например дисплей) сгенерировал сильную помеху с ультразвуковой частотой 39 кГц, которая проникла в налоговый звуковой сигнал. Мы производим оцифровку с частотой 44.1 кГц. При этом мы предполагаем, что звук, лежащий ниже частоты будет записан правильно (по теореме Котельникова). Но т.к. помеха лежит выше частоты 22,05 кГц, то возникает алиасинг, и помеха «отразится» в нижнюю часто спектра, на частоту около 5 кГц. Если мы теперь попробуем пропустить полученный цифровой сигнал церез ЦАП и прослушать результат, то мы услышим на фоне музыки помеху на частоте 5 кГц. Таким образом. Помеха переместилась из неслышимой ультразвуковой области в слышимую область.

Таким образом, мы видим, что алиасинг – нежелательное явление при дискретизации сигнала. Например, при оцифровке изображения алиасинг может привести к дефектам в изображении, таким как «блочные», «пикселизованные» границы или муар.

Чтобы избежать это явление, необходимо во-первых, использовать более высокую частоту дискретизации, чтобы весь спектр записываемого сигнала уместился ниже половины частоты дискретизации. Во-вторых: искусственно ограничить спектр сигнала перед оцифровкой.