Предел числовой последовательности.

Функция.

 

Определение 13.3. Если каждому элементу х множества Х (называемого областью определения функции) по определенному закону ставится в соответствие единственный элемент у множества Y, то подобное отображение называется функцией, определенной на множестве Х со значениями в множестве Y. При этом х называется независимой переменной, или аргументом, а у = f(x) – зависимой переменной, или функцией.

 

Замечание. Мы будем рассматривать только однозначные функции (в отличие от многозначных функций, для которых одному значению х может соответствовать более одного значения у).

 

Способы задания функции:

1) табличный

2) графический

3) аналитический.

 

Определение 13.4. Если у=F(u) является функцией от u, a u=φ(x) – функцией от х, то

у = F [ φ(x)]

называется сложной функцией или функцией от функции.

Основные элементарные функции.

1. Степенная функция у = х^α,

2. Показательная функция у = а^х, a > 0, a 1.

3. Логарифмическая функция y =log _ax, a > 0, a 1.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x.

5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arсcos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x.

 

Определение 13.5. Элементарной функцией y = f(x) называется функция, заданная с помощью основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.

 

Определение 13.6. Если для функции у = f(х) можно определить функцию х = g(у), ставящую в соответствие каждому значению функции у = f(x) значение ее аргумента х, то функция у = g(x) называется обратной функцией к у = f(x) и обозначается y = f ^–1(x).

 

Пределы функций.

Определим понятие окрестности точки х ₀ как множество значений х, являющихся решениями неравенства 0<| x - x ₀| < δ, где δ > 0 – некоторое число. Само значение х ₀ может включаться в окрестность или не включаться в нее (в этом случае окрестность называется проколотой).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х ₀.

 

Определение 13.7. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х ₀, если такое, что | f(x) - A | < ε при | x - x₀ | < δ.

Обозначение: .

 

Замечание. Для существования предела функции в точке х ₀ не требуется, чтобы функция была определена в самой этой точке.

 

Примеры.

1. Докажем, что Если |2 x +1-7| < ε, то |2 x - 6| < ε, | x - 3| < ε/2. Таким образом, если принять δ(ε) = ε/2, то выполнены все условия определения предела. Утверждение доказано.
2. Заметим, что в проколотой окрестности х=2 поэтому мы имеем право сократить дробь на (х - 2).

 

Определение 13.8. Функция у = f(x) имеет бесконечный предел при х, стремящемуся к х ₀ (стремится к бесконечности, является бесконечно большой), если такое, что | f(x)| > M при | x - x₀ | < δ.

Обозначение:

 

Определение 13.9. Число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности, если при x > X (), при x < -X (), при |x| > X (

 

Замечание. Бесконечный предел функции на бесконечности можно определить по аналогии с определением 13.8.

 

Определение 13.10. Функция у = f(x) называется ограниченной в некоторой области значений х, если существует число М >0 такое, что | f(x)|<M для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области.

 

Свойства пределов.

 

1.Если существует (А – конечное число), то функция у = f(x) является ограниченной в некоторой окрестности (возможно, проколотой) точки х ₀.

Доказательство. Так как для любого ε существует такое δ, что | f(x) - A | < ε при | x - x₀ | < δ, то при этом | f(x)| < |A | + ε, то есть функция ограничена в рассматриваемой окрестности.

2. Функция не может иметь двух различных пределов при х, стремящемуся к одному и тому же значению.

Доказательство. Пусть А и В – пределы f(x) при х→х₀. Выберем ε < | A-B |. Тогда существует такое δ₁, что | f(x)-A |<ε/2 при | x - x₀ | < δ₁, и такое δ₂, что |f (x)-B |<ε/2 при | x - x₀ | < δ₂. Если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ₁ и δ₂, то значения функции f(x) для аргументов, лежащих в δ – окрестности х ₀, должны одновременно находиться в двух непересекающихся окрестностях, что невозможно. Утверждение доказано.

1. Если и А , то существует окрестность точки х ₀, в которой функция f(x) сохраняет постоянный знак (f(x)> 0, если A > 0, и f(x)<0, если A < 0).

Доказательство. Достаточно выбрать ε=| A |/2. Тогда для х из некоторой окрестности х ₀ | f(x)-A | < | A |/2, то есть А /2 < f(x) < 3 A /2 при A > 0 и 3 A /2 < f(x) < A /2 при A < 0. Следовательно, в выбранной окрестности f(x) сохраняет постоянный знак.

 

Односторонние пределы.

 

Определение 13.11. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х₀ слева (справа), если такое, что | f(x)-A |<ε при x₀ – х < δ (х - х₀ < δ).

Обозначения:

 

Теорема 13.1(второе определение предела). Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х ₀, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.

Доказательство.

1) Если , то и для x₀ – х < δ, и для х - х₀ < δ | f(x) - A |<ε, то есть

1) Если , то существует δ₁: | f(x) - A | < ε при x₀ – x < δ₁ и δ₂: | f(x) - A | < ε при х - х₀ < δ₂. Выбрав из чисел δ₁ и δ₂ меньшее и приняв его за δ, получим, что при | x - x₀ | < δ | f(x) - A | < ε, то есть . Теорема доказана.

Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела.

 

Лекция 14.

Бесконечно малые функции и их свойства. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Натуральный логарифм и гиперболические функции.

 

Определение 14.1. Функция у=α(х) называется бесконечно малой при х→х₀, если

Свойства бесконечно малых.

 

1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство. Если α(х) и β(х) – бесконечно малые при х→х₀, то существуют δ₁ и δ₂ такие, что | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда | α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, , то есть α(х)+β(х) – бесконечно малая.

Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

1. Если α(х) – бесконечно малая при х→х₀, а f(x) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х₀, то α(х)f(x) – бесконечно малая при х→х₀.

Доказательство. Выберем число М такое, что | f(x)|<M при | x-x₀|< δ₁, и найдем такое δ₂, что | α(x)|<ε/M при | x-x₀ |<δ₂. Тогда, если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ₁ и δ₂, |α (x)·f(x)|<M·ε/M=ε, то есть α(х)·f(x) – бесконечно малая.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая.

Следствие 3. Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая.

1. (Третье определение предела). Если , то необходимым и достаточным условием этого является то, что функцию f(x) можно представить в виде f(x)=A+α(x), где α(х) – бесконечно малая при х→х₀.

Доказательство.

1) Пусть Тогда | f(x)-A |<ε при х→х₀, то есть α(х)=f(x)-A – бесконечно малая при х→х₀. Следовательно, f(x)=A+α(x).

2) Пусть f(x)=A+α(x). Тогда значит, | f(x)-A |<ε при | x - x₀ | < δ(ε). Cледовательно, .

Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим.

 

B C

A x

Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим отсюдa, что , или sin x < x <tg x. Разделив все части неравенства на sin x (при 0< x <π/2 sin x >0), запишем неравенство в виде: .

Тогда , и по теореме 14.4 .

Замечание. Доказанное справедливо и при x< 0.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что последовательность при имеет предел, заключенный между 2 и 3. По формуле бинома Ньютона

возрастающая переменная величина при возрастающем n. С другой стороны,

и т.д., поэтому

Следовательно, - ограниченная и возрастающая величина, поэтому она имеет предел (см. теорему 14.6). Значение этого предела обозначается числом е .

2. Докажем, что .

а) Пусть . Тогда

. При . Найдем пределы левой и правой частей неравенства:

Следовательно, по теореме 14.4 .

б) Если то и Теорема доказана.

Пример.

Бесконечно большие функции.

Определение 15.1. Функция f(x) называется бесконечно большой при х х₀, если

Для бесконечно больших можно ввести такую же систему классификации, как и для бесконечно малых, а именно:

1. Бесконечно большие f(x ) и g(x ) считаются величинами одного порядка, если

.

2. Если , то f(x ) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x).

3. Бесконечно большая f(x ) называется величиной k -го порядка относительно бесконечно большой g(x ), если .

Замечание. Отметим, что а^х – бесконечно большая (при а >1 и х ) более высокого порядка, чем x^k для любого k, а log _ax – бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х^k .

Теорема 15.1. Если α(х ) – бесконечно малая при х→х₀, то 1/ α(х ) – бесконечно большая при х→х₀ .

Доказательство. Докажем, что при | x - x₀ | < δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/ M. Тогда при | x - x₀ | < δ | α(x)|< 1/ M, следовательно,

|1/ α(x )|> M. Значит, , то есть 1/ α(х ) – бесконечно большая при х→х₀.

Лекция 16.

Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функций и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения.

Определение 16.1. Функция y=f(x ) называется непрерывной в точке х₀, если

Замечание. Из этого определения следует, во-первых, что функция определена при х = = х₀, и во-вторых, что при х→х₀ существует конечный предел функции.

Примеры.

1. Функция не определена при х = 1, а для остальных значений аргумента может быть представлена как у = х - 2. Следовательно, , то есть х = 1 – устранимая особенность.

2. Из определения модуля следует, что у = 1 при x > 0, y = -1 при x < 0, а при х = 0 функция не определена. При этом . Следовательно, х = 0 –точка разрыва 1-го рода.

3. Функция не определена при х = 0, и . Поэтому х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

4. то есть правосторонний предел не является конечным. Значит, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

5. Функция не определена при х = 0 и не имеет предела при х →0. Следовательно, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение 16.6. Функция y=f(x ) называется непрерывной на отрезке [ ab ], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (при этом f(a ) и f(b ) равны соответствующим односторонним пределам).

Теорема 16.1. Функция f(x ), непрерывная на отрезке [ ab ], ограничена на нем.

Доказательство. По 1-му свойству предела существует окрестность точки х = а, в которой f(x ) ограничена, то есть существуют числа m ₀ и М₀: m₀<f(x)<M₀ в рассматриваемой окрестности. Выберем точку в правой части этой окрестности и рассмотрим окрестность этой точки, в которой f(x) тоже ограничена. Продолжим эту процедуру до тех пор, пока весь отрезок [ ab ] не будет покрыт системой из n окрестностей, причем для каждой i -й окрестности m_i<f(x)<M_i. Следовательно, для любого х, принадлежащего отрезку [ ab ], верно неравенство: m<f(x)<M, где m =min( m_i ), M =max( M_i). Значит, f(x) ограничена на [ ab ].

Замечание 2. Можно доказать, что всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет верхнюю (нижнюю) грань. Следовательно, верхняя и нижняя грань существует для значений функции, ограниченной на отрезке.

Теорема 16.2. Если функция у=f(x ) определена и непрерывна на отрезке [ ab ], то она достигает на нем своей верхней и нижней грани.

Доказательство. Ограниченность f(x) на [ ab ] следует из теоремы 16.1. Пусть М=sup f ( x ).

Предположим, что f(x)<M на [ ab ], и рассмотрим вспомогательную функцию

. По выдвинутому предположению знаменатель дроби в 0 не обращается, следовательно, g(x) непрерывна на [ ab ] и поэтому ограничена (т.16.1):

g(x ) Но из этого следует, что , то есть число , меньшее М, оказывается верхней гранью f(x ), что противоречит выбору М. Значит, на [ ab ] найдется значение х ₀ такое, что f(x₀)=M. Аналогичным образом можно доказать и то, что f(x ) достигает на [ ab ] своей нижней грани.

Теорема 16.3. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [ ab ] и f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа С, заключенного между А и В, найдется х ₀ [ ab ]: f(x₀)=C .

Доказательство. Пусть для определенности A<C<B. Найдем середину отрезка [ ab ]: х =(а+в) /2. Если при этом f(x)=C, то искомое значение х ₀ найдено. В противном случае выберем ту половину отрезка, на концах которой значения f(x ) лежат по разные стороны С, и обозначим ее концы а ₁ и b ₁. Будем продолжать эту процедуру (деления отрезка пополам и выбора соответствующей половины). Тогда либо через конечное число шагов значение функции в середине очередного отрезка станет равно С, либо мы получим две последовательности ({ a_n }- начальных точек выбранных отрезков и { b_n }- их конечных точек), имеющие своими пределами одну и ту же общую для всех отрезков точку х ₀. Тогда в силу непрерывности f(x )

Но, поскольку отрезки выбирались так, что f(a_n) < C < f(b_n ), получим, что

то есть f(x₀) ≤ C ≤ f(x₀ ), или С = f(x₀ ).

Следствие.

Доказательство.

1) Если для y=f(x) существует , то , где β(Δх) – бесконечно малая при Δ х →0. Тогда . Следовательно, функция y = f(x ) дифференцируема при х = х₀, причем А = f`(x₀ ).

2) Пусть y=f(x ) дифференцируема при х=х₀, то есть ее приращение имеет вид (17.2). Тогда . Таким образом, f(x ) имеет производную в точке х₀, равную А.

Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде , а производную – в виде .

Теорема 17.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из формулы (17.2) следует, что , что и означает непрерывность f(x) при х = х₀ .

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x | непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.

Линеаризация функции.

Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем Δ х, при приближенных вычислениях можно заменять Δ у на dy, то есть считать, что f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + dy = f(x₀) + f`(x₀)(x -x₀ ). При этом функция f(x ) для значений х, близких к х₀, приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции.

Пример.

Найдем приближенное значение . Пусть Тогда

Лекция 18.

Свойства производной (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Таблица производных, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

 

Правила дифференцирования.

Пусть при рассматриваемых значениях х существуют производные функций f(x ) и g(x ), то есть эти функции являются дифференцируемыми при данных значениях аргумента. Сформулируем и докажем некоторые свойства производных.

1. (18.1)

Доказательство.

2. где k =const. (18.2)

Доказательство.

3. (18.3)

Доказательство.

так как в силу непрерывности g(x).

4. Если g(x)≠ 0, то (18.4)

Доказательство.

Доказательство.

Так как то по третьему определению предела можно представить

где при Тогда Разделив обе части равенства на Δ х, получим:

. Переходя к пределу при Δ х →0, получаем: так как

Доказательство.

Так как φ(у ) непрерывна, Δ х →0 при Δ у →0, и при переходе к пределу при Δ у →0 получаем: .

Инвариантность формы дифференциала.

Найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=φ(x ), то есть y=f(φ(x)). Тогда следовательно, Но поэтому Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство называется свойством неизменности, или инвариантности, дифференциала.

Производные основных элементарных функций.

Примеры.

1.

2.

=

Пример.

х = а (1 – cos t ), y = a ( t – sin t ) – параметрические уравнения кривой, называемой циклоидой. Найдем у΄(х): х΄(t) = a sin t, y΄(t) = a (1-cos t ), .

 

Лекция 19.

Точки экстремума функции.

Определение 19.4. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = =f(x), если f(x) ≤ f(x₀) (f(x) ≥ f(x₀)) для всех х из некоторой δ-окрестности точки х₀.

Определение 19.5. Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.

 

Примеры.

1. y=x ² имеет минимум при х =0.
2. y=-|x- 3 | имеет максимум при х =3.
3. у= sin x имеет минимумы при и максимумы при .

 

Теорема 19.1 (теорема Ферма). Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х₀ производную, то f′(x₀)= 0.

 

Доказательство.Пусть f(x₀) – наибольшее значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀). Тогда, если x < x₀, а если x > x₀,

Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что f′(x₀) ≥ 0, а из второго – что f′(x₀) ≤ 0. Следовательно, f′(x₀) = 0.

Замечание. В теореме Ферма важно, что х₀ – внутренняя точка для данного промежутка. Например, функция y = x, рассматриваемая на отрезке [0;1], принимает наибольшее и наименьшее значения соответственно при х = 1 и х = 0, но ее производная в этих точках в ноль не обращается.

 

Теорема 19.2 (теорема Ролля). Если функция y = f(x)

1) непрерывна на отрезке [ ab ];

2) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;

3) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть f(a) = f(b),

то внутри интервала (ab) существует по крайней мере одна точка х = с, a < c < b, такая, что f′(c) = 0.

Доказательство.

Пусть M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на [ ab ]. Тогда, если m = M, то f(x) = m = M – постоянная функция, и f′(x)=0 для любой точки отрезка [ ab ]. Если же m<M, то по теореме 16.2 хотя бы одно из значений m или M достигается во внутренней точке с отрезка [ ab ] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма f′(c) = 0.

 

Замечание 1. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий. Приведем примеры функций, для каждой из которых не выполняется только одно из условий теоремы, и в результате не существует такой точки, в которой производная функции равна нулю.

у у у

 

 

0 1 х 0 х -1 0 1 х

 

 

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Действительно, у функции, график которой изображен на рис. 1, f(0)=f( 1 )=0, но х =1 – точка разрыва, то есть не выполнено первое условие теоремы Ролля. Функция, график которой представлен на рис.2, не дифференцируема при х = 0, а для третьей функции f(- 1 )≠f( 1 ).

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.

 

Лекция 20.

Лекция 21.

Лекция 23.

Исследование выпуклости функции. Точки перегиба, их нахождение. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Определение 23.1. Кривая называется выпуклой (обращенной выпуклостью вверх) на интервале (ab), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение 23.2.. Кривая называется вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) на интервале (ab), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

у

А В С

 

Например, кривая, изображенная на рисунке, выпукла на интервале (ВС) и вогнута на интервале (АВ).

Теорема 23.1. Если f ′′(x) < 0 во всех точках интервала (ab), то кривая y = f(x) выпукла на этом интервале. Если f ′′(x) > 0 во всех точках интервала (ab), то кривая y = f(x) вогнутаа на этом интервале.

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть f ′′(x) < 0 на (ab).

у

 

а x₀ b

 

 

Выберем на интервале (ab) произвольную точку х = х₀ и докажем, что все точки кривой на этом интервале лежат ниже проведенной в точке с абсциссой х₀ касательной, то есть ордината любой точки кривой на рассматриваемом интервале меньше ординаты касательной. Уравнение кривой имеет вид y = f(x), а уравнение касательной при х = х₀:

.

Тогда . Применив теорему Лагранжа, получим: , где с лежит между х и х₀. Применим к первому множителю правой части полученного равенства еще раз теорему Лагранжа: (23.1)

(здесь с₁ – между х ₀ и с). Пусть x > x₀. Тогда x₀ < c₁ < c < x, то есть c – x₀ > 0, x – x₀ > 0, f ′′(c₁) < 0, поэтому Если же x < x₀, то x < c < c₁ < x₀, поэтому c – x₀ < 0, x – x₀ < 0, f ′′(c₁) < 0. Но при этом по-прежнему Таким образом, любая точка кривой на данном интервале лежит ниже касательной в точке с абсциссой х₀. Следовательно, кривая является выпуклой.

Второе утверждение теоремы доказывается аналогичным образом.

Определение 23.3. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Замечание. Если в точке перегиба существует касательная к кривой, то в этой точке она пересекает кривую, потому что по одну сторону от данной точки кривая проходит выше касательной, а по другую – ниже.

Теорема 23.2 (необходимое условие точки перегиба). Если в точке x₀ перегиба кривой, являющейся графиком функции y = f(x), существует вторая производная f ′′(x), то f ′′(x₀) = 0.

Доказательство. Так как при х = х₀ , по формуле Тейлора получаем: . Если бы , разность сохраняла бы постоянный знак в некоторой окрестности точки х₀, в то время как в точке перегиба эта разность должна менять знак. Следовательно, f ′′(x₀) = 0.

Теорема 23.3 (достаточное условие точек перегиба). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х₀, дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и f ′′(x) меняет знак при х = х₀, то х₀ – точка перегиба.

Доказательство. Воспользовавшись формулой (23.1), получим, что знак разности определяется знаком f ′′(c₁), так как (c – x₀)(x – x₀)> 0 по обе стороны точки х₀. Следовательно, меняет знак при х = х₀, то есть х₀ – точка перегиба.

Замечание. Можно доказать, что если в условиях теоремы 22.5 критическая точка не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.

Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции y = x³ -6 x² + x – 12. y′ = 3 x ² - 12 x + 1, y′′ = 6 x – 12. y′′ = 0 при х = 2, y′′ < 0 при х < 2, y′′ > 0 при х > 2. Таким образом, график функции является выпуклым при х < 2, вогнутым при х > 2, а х = 2 – точка его перегиба.

Асимптоты.

Определение 23.4. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.

1. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен. Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/ x является прямая х = 0, то есть ось ординат.

2. Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при или при конечен, т.е. .