Уравнение касательной к графику функции.

Составим уравнение касательной к графику функции y = f(x) при х = х₀. Эта прямая должна проходить через точку с координатами ( х₀,у₀ ), лежащую на графике функции, где у₀ = f(x₀), и иметь угловой коэффициент, равный производной f(x ) при х = х₀. Воспользовавшись уравнением (7.9), получим: у = f`(x<sub>0</sub>)х + b, причем у<sub>0</sub> = f`(x₀)x₀ + b, то есть b = y₀ - f`(x₀)x₀. Тогда уравнение касательной можно записать в виде:

или (17.1)

Дифференцируемость функции.

Определение 17.2. Если приращение функции y = f(x) при х = х₀ можно представить в виде

, (17.2)

где A = const, то y = f(x ) называется дифференцируемой при х = х₀, а АΔх называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции.

Обозначение: dy = АΔх.

Замечание. Так как при у = х получаем dx = 1·Δx, можно обозначать Δх = dx .

Теорема 17.1. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только в том случае, если она имеет в этой точке производную.

Доказательство.

1) Если для y=f(x) существует , то , где β(Δх) – бесконечно малая при Δ х →0. Тогда . Следовательно, функция y = f(x ) дифференцируема при х = х₀, причем А = f`(x₀ ).

2) Пусть y=f(x ) дифференцируема при х=х₀, то есть ее приращение имеет вид (17.2). Тогда . Таким образом, f(x ) имеет производную в точке х₀, равную А.

Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде , а производную – в виде .

Теорема 17.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из формулы (17.2) следует, что , что и означает непрерывность f(x) при х = х₀ .

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x | непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.

Геометрический смысл дифференциала

у Рассмотрим график функции y=f(x ) и проведем

В касательную к нему при х=х₀. Тогда при прира-

щении аргумента Δ х приращение функции Δ у

С равно длине отрезка BD, а приращение ордина-

ты касательной равно длине

А D отрезка CD. Следовательно, дифференциал

функции равен приращению ординаты

Δ х касательной.

х₀ х

Линеаризация функции.

Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем Δ х, при приближенных вычислениях можно заменять Δ у на dy, то есть считать, что f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + dy = f(x₀) + f`(x₀)(x -x₀ ). При этом функция f(x ) для значений х, близких к х₀, приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции.

Пример.

Найдем приближенное значение . Пусть Тогда

Лекция 18.

Свойства производной (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Таблица производных, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

 

Правила дифференцирования.

Пусть при рассматриваемых значениях х существуют производные функций f(x ) и g(x ), то есть эти функции являются дифференцируемыми при данных значениях аргумента. Сформулируем и докажем некоторые свойства производных.

1. (18.1)

Доказательство.

2. где k =const. (18.2)

Доказательство.

3. (18.3)

Доказательство.

так как в силу непрерывности g(x).

4. Если g(x)≠ 0, то (18.4)

Доказательство.