Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций.

 

Найдем разложения по формуле Тейлора при а = 0 (точнее, по формуле Маклорена) функций y = e^x, y = sin x, y = cos x, y = ln(1 + x), y = (1 + x) ^m.

1) f(x) = е^х.

f(x) = f ′(x) = … = f ⁽ⁿ⁾(x) = e^x, следовательно, f(0) = f ′(0) = … = f⁽ⁿ⁾(0) = 1. Подставляя эти результаты в формулу (21.13), получим: (21.14)

Отметим, что для любого х

2) f(x) = sin x.

Разложение по формуле Маклорена имеет вид:

(21.15)

В этом случае, как и в предыдущем, при всех значениях х

Можно предложить еще один вариант этой формулы:

(21.15 `)

3) f(x) = cos x.

Таким же образом, как и для синуса, можно получить разложение по формуле Тейлора:

(21.16)

4) f(x) = ln(1 + x). Тогда

Следовательно,

(21.17)

5) f(x) = (1 + x) ^m. При этом f ⁽ⁿ⁾(x) = m(m - 1)…(m – n + 1)(1 + x) ^m-n,

f ⁽ⁿ⁾(0) = m (m – 1)…(m – n +1). Тогда

(21.18)

 

 

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.

Найдем приближенное значение числа е, вычислив значение многочлена Тейлора (21.14) при n =8:

При этом

 

 

Лекция 22.

Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

В предыдущих лекциях использовались известные из курса элементарной математики понятия возрастающей и убывающей функций. Определим их еще раз.

Определение 22.1. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [ ab ], если

таких, что x₁ < x₂, f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Теорема 22.1. Если функция f(x), дифференцируемая на [ ab ], возрастает на этом отрезке, то на [ ab ].

Если f(x) непрерывна на [ ab ] и дифференцируема на (ab), причем для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ ab ].

Доказательство.

1. Пусть f(x) возрастает на [ ab ]. Тогда при то есть Если же поэтому Следовательно, в обоих случаях Значит, что и требовалось доказать.

1. Пусть Выберем По теореме Лагранжа

Но по условию поэтому f(x₂) > f(x₁), следовательно, f(x) – возрастающая функция.

Замечание 1. Аналогичную теорему можно доказать и для убывающей функции: Если f(x) убывает на [ ab ], то на [ ab ]. Если на (ab), то f(x) убывает на [ ab ].

Замечание 2. Геометрический смысл доказанной теоремы: если функция возрастает на отрезке [ ab ], то касательная к ее графику во всех точках на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (или горизонтальна). Если же функция убывает на рассматриваемом отрезке, то касательная к графику этой функции образует с осью Ох тупой угол (или в некоторых точках параллельна оси Ох).