Генеральная и выборочная дисперсии.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят следующую характеристику - генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией D_r называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней х_г.

Если все значения x₁ х₂,..., x_Nпризнака генеральной совокуп­ности объема N различны, то

 

Если же значения признака х_г, х₂,..., x_k имеют соответственно частоты N₁, N_{2 …} N_k причем ni + N₂ +... + N_k = N, то

xi	2	4	5	6
Ni	8	9	10	3

Задание 8-5. Найти генеральную дисперсию для генеральной совокупности, заданной таблицей рас­пределения:

Решение.

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандар­том) называется s =

Пусть все значения x₁ х₂,..., x_Nразличны.

Найдем дисперсию признака X, рассматриваемого как случай­ную величину:

Таким образом, дисперсия D (X) равна D_r.

Такой же итог следует, если значения x₁ х₂,..., x_kимеют со­ответственно частоты N_1t N₂,..." N_k.

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают:

Эту формулу можно записать в виде:

откуда или

 

Величина называется средней квадратической ошибкой.

 

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых зна­чений количественного признака выборки вокруг своего значения вводят выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D_B называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых зна­чений признака X от выборочной средней .

Если все значения x₁ x₂,..., х_п признака выборки объема п различны, то

Если же значения признака x₁ x₂,..., х_k имеют соответственно частоты n₁ n₂…n_k, причем n₁ +n₂+…+n_k,= n, то

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) называется квадратный корень из выборочной дисперсии:

xi
nt

Задание 8-6. Выборочная совокупность задана таблицей рас­пределения. Найти выборочную дисперсию

Решение.

 

=1

 

Не уменьшая общности рассуждений, будем считать зна­чения x₁ x₂, … х_п признака различными.

Выборочную дисперсию, рассматриваемую как случай­ную величину, можно обозначать Ŝ²:

Теорема. МО выборочной дисперсии равно или

 

 

Если варианты x_j - большие числа, то для облегчения вычисления выборочной дисперсии D_B в фо рмулу вводится ложный нуль C:

 

Задание 8-7. Для данных задания 8-4 вычислить выборочную дисперсию, ложный нуль оставить равный C = 72,00

Решение.

 

3.3. Оценки параметров распределения.

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки. Это значит, что по результатам, полученным по некоторой выборке данной совокупности, требуется сделать обобщение, которое распространяется на всю рассматриваемую выборку. Естественно такое обобщение будет не точным.

Выборочная дисперсия D_в считается смещенной оценкой генеральной дисперсии D_г. При этом ведется речь об исправлении выборочной дисперсии так. что бы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии.

Исправленную дисперсию, как правило, обозначают S². Доказано, что зависимость между выборочной и генеральной дисперсией находится в следующей зависимости:

S²= n/(n-1)· D_в

Отметим, что если варианты х, - большие числа, то для облегче­ния вычисления s² формулу для s² аналогично преобра­зуют к виду:

где С - ложный нуль.

Выборочное среднее квадратичное s считается также смещенным, что бы оно стало исправленным надо воспользоваться соотношением:

 

В теоретических рассуждениях считают, что генеральная сово­купность бесконечна. Для оценки параметров распределения X из данных выборки составля­ют выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров.

Можно сразу вычислять исправленную дисперсию, если в формуле для вычисления выборочной дисперсии сумму квадратов отклонений делить не на число n, на число n-1.

Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки, для того чтобы не делать систематиче­ской ошибки в сторону завышения или занижения.

Ясно, что, чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероят­ность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной. Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

Кроме понятия "смещенные оценки", часто рассматривают такое понятие как "состоятельность оценки".

Состоятельной оценкой называют такую оценку Ŵ параметра W, что для любого, заданного числа ε > 0, вероятность P(Ŵ_n-W)< ε.

Впрочем, любая оценка, предназначенная для практического применения должна быть состоятельной оценкой.

Задание 8-8. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов. Их веса (в граммах) записаны в первой колонке приведенной таблицы. Обработать статистические данные выборки.

Решение. Для вычисления х_в и s по формулам введем ложный нуль С = 250 и все необходимые при этом вычисле­ния сведем в расчетную таблицу:

 

Отсюда:

 

Ответ. Генеральная средняя оценка веса плода равна 243 г со сред­ней квадратической ошибкой в 9 г.

Оценка генерального среднего квадратического отклонения веса плода равна 28 г.