Надежность, доверительные интервалы. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Надежность, доверительные интервалы.



При оценивании многих параметров можно указать одно число, но на практике мы редко имеем дело с точными результатами, но всегда можно указать некоторый интервал, в который входит полученный результат либо при измерении или при обработке результатов измерений.

Точечной оценкой называется оценка, которая характеризуется одним число.

Например, число элементов в выборке, число проведенных испытаний и др.

Интервальной оценкой называется оценка, которая определяется двумя числами, которые являются концами (границами) интервала. Причем, изменяя длину такого интервала, можно добиться установленной заранее точности и надежности измерения или вычисления.

Точность оценки обозначается буквой δ, (δ>0) является оценкой неизвестного параметра R по его приближенному значению r, вернее, является отклонением r от R не более, чем на δ.

При этом имеет место выражение:

÷R-r÷ < δ

Очевидно, что чем меньше δ, тем точнее оценка.

Надежность оценки обозначается буквой γ, является оценкой вероятности с которой осуществляется неравенство: ÷R-r÷ < δ.

При этом имеет место выражение:

P(÷R-r÷ < δ)= γ

Надежность оценки γ обычно задается заранее, причем надежности γ обычно присваивают одно из значений 0,95, или 0,99, или 0,999.

 

Доверительным интервалом называется интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной точностью γ.

Понятие "покрывает" можно трактовать, как неизвестный показатель может попасть в доверительный интервал с указанной точностью.

Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный до­верительный интервал покрывает параметр r. Но в этом можно быть уверенным на 95% при γ = 0,95, на 99% при γ= 0,99 и т. д. Это значит, что если сделать много выборок, то для 95% из них (если, например, γ = 0,95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют r

Замечание. В ряде учебных пособияхприближенное и точное значение обозначается не буквами R и r, другими, свойственными данному автору буквами. Например , учитывая трудность их написание на компьютере, мы ввели иные буквы, что не меняет сути вопроса.

4.2. Доверительный интервал математического ожидания a при известном среднем квадратичном отклонении σ.

В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение σ ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно. Например, если измерения производятся одним и тем же прибором при одних и тех же условиях, то MO для всех измерений одно и то же и обычно бывает известно.

Пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами:

a – не известное математическое ожидание,

σ – известное квадратичное отклонение.

Построим доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с заданной на­дежностью γ. Данные выборки есть реализации случайных вели­чин X1 X2, … Хп имеющих нормальное распределение с парамет­рами а и σ. Оказывается, что и выборочная средняя случайная величина Xсред =(1/n)·(Х1 + Х2 +... + Хn) тоже имеет нормальное распределение (примется без доказательства).

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р ( ÷ Xсред - а ÷ < δ) = γ, где γ - заданная надежность.

Получим:

 

 

Так как Р задана и равна γто окончательно имеем (для получения рабочей формулы выборочную среднюю заменяем на ):

Здесь число t определяется из равенства 2Ф(t)= γ, которое находится по соответствующей таблице значений.

Точность оценки определяется формулой

 

Как было сказано выше, надежность γпринимают равной или 0,95, или 0,99, или 0,999.

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал, отраженный формуле, покрывает неизвестный параметр aматематическое ожидание, с точностью оценки δ.

Задание 8-9. Признак X распределен в генеральной совокуп­ности нормально, σ = 0,40. Найти по данным выборки доверительный интервал для математического ожидания a с надежностью γ = 0,99, если п = 20, = 6,34

Решение.

По таблице значений этой функции находим t=2,56

Следовательно

 

Концы доверительного интервала 6,34 - 0,23 = 6,11 и 6,34 + 0,23 - = 6,57.

Ответ. Доверительный интервал (6,11; 6,57[ покрывает а с надежностью 0,99.

 

4.3. Доверительный интервал для МО при неизвестном среднем квадратичном отклонении σ.

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными нам параметрами а и σ.

По данным выборки можно построить случайную величину T - ее возможные значения будем обозначать через t:

, где n – объем выборки, - выборочная средняя, S- исправленное среднее квадратическое отклонение, имеет распределение, не зависящее от a и σ. Оно называется распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика Госсета).

Плотность вероятности распределения Стьюдента определяется фор­мулой:

где коэффициент Вп зависит от объема выборки. Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

где γ - заданная надежность.

Так как S (t, п) - четная функция от t, то, получим:

Следовательно, приходим к утверждению: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр а, точность оценки

Здесь случайные величины X и S заменены неслучайными величинами и s, найденными по выборке.

В приложении 4 приведена таблица значений t = t (γ, п) для различных значений п и обычно задаваемых значений надежности.

Заметим, что при п ³ 30 распределение Стьюдента практиче­ски не отличается от нормированного нормального распределения

Это связано с тем, что

Задание 8-10. Признак X распределен в генеральной совокуп­ности нормально. Найти доверительный интервал для с надеж­ностью γ = 0,99, если п = 20, = 6,34, s = 0,40.

Решение.

Для γ = 0,99 и п = 20 находим по таблице приложения, что t γ = 2,861.

Следовательно, δ = = »0,26.

Концы довери­тельного интервала 6,34 - 0,26 = 6,08 и 6,34 + 0,26 = 6,60.

Ответ. Доверительный интервал (6,08; 6,60) покрывает с надежностью 0,99.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 2091; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.200.26.112 (0.008 с.)