Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Надежность, доверительные интервалы.
При оценивании многих параметров можно указать одно число, но на практике мы редко имеем дело с точными результатами, но всегда можно указать некоторый интервал, в который входит полученный результат либо при измерении или при обработке результатов измерений. Точечной оценкой называется оценка, которая характеризуется одним число. Например, число элементов в выборке, число проведенных испытаний и др. Интервальной оценкой называется оценка, которая определяется двумя числами, которые являются концами (границами) интервала. Причем, изменяя длину такого интервала, можно добиться установленной заранее точности и надежности измерения или вычисления. Точность оценки обозначается буквой δ, (δ>0) является оценкой неизвестного параметра R по его приближенному значению r, вернее, является отклонением r от R не более, чем на δ. При этом имеет место выражение: ÷R-r÷ < δ Очевидно, что чем меньше δ, тем точнее оценка. Надежность оценки обозначается буквой γ, является оценкой вероятности с которой осуществляется неравенство: ÷R-r÷ < δ. При этом имеет место выражение: P(÷R-r÷ < δ)= γ Надежность оценки γ обычно задается заранее, причем надежности γ обычно присваивают одно из значений 0,95, или 0,99, или 0,999.
Доверительным интервалом называется интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной точностью γ. Понятие "покрывает" можно трактовать, как неизвестный показатель может попасть в доверительный интервал с указанной точностью. Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр r. Но в этом можно быть уверенным на 95% при γ = 0,95, на 99% при γ= 0,99 и т. д. Это значит, что если сделать много выборок, то для 95% из них (если, например, γ = 0,95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют r Замечание. В ряде учебных пособияхприближенное и точное значение обозначается не буквами R и r, другими, свойственными данному автору буквами. Например , учитывая трудность их написание на компьютере, мы ввели иные буквы, что не меняет сути вопроса. 4.2. Доверительный интервал математического ожидания a при известном среднем квадратичном отклонении σ. В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение σ ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно. Например, если измерения производятся одним и тем же прибором при одних и тех же условиях, то MO для всех измерений одно и то же и обычно бывает известно.
Пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами: a – не известное математическое ожидание, σ – известное квадратичное отклонение. Построим доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с заданной надежностью γ. Данные выборки есть реализации случайных величин X1 X2, … Хп имеющих нормальное распределение с параметрами а и σ. Оказывается, что и выборочная средняя случайная величина Xсред =(1/n)·(Х1 + Х2 +... + Хn) тоже имеет нормальное распределение (примется без доказательства). Потребуем, чтобы выполнялось соотношение Р ( ÷ Xсред - а ÷ < δ) = γ, где γ - заданная надежность. Получим:
Так как Р задана и равна γто окончательно имеем (для получения рабочей формулы выборочную среднюю заменяем на ): Здесь число t определяется из равенства 2Ф(t)= γ, которое находится по соответствующей таблице значений. Точность оценки определяется формулой
Как было сказано выше, надежность γпринимают равной или 0,95, или 0,99, или 0,999. Смысл полученного соотношения таков: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал, отраженный формуле, покрывает неизвестный параметр a – математическое ожидание, с точностью оценки δ. Задание 8-9. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально, σ = 0,40. Найти по данным выборки доверительный интервал для математического ожидания a с надежностью γ = 0,99, если п = 20, = 6,34 Решение. По таблице значений этой функции находим t=2,56 Следовательно
Концы доверительного интервала 6,34 - 0,23 = 6,11 и 6,34 + 0,23 - = 6,57. Ответ. Доверительный интервал (6,11; 6,57[ покрывает а с надежностью 0,99.
4.3. Доверительный интервал для МО при неизвестном среднем квадратичном отклонении σ. Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными нам параметрами а и σ. По данным выборки можно построить случайную величину T - ее возможные значения будем обозначать через t:
, где n – объем выборки, - выборочная средняя, S- исправленное среднее квадратическое отклонение, имеет распределение, не зависящее от a и σ. Оно называется распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика Госсета). Плотность вероятности распределения Стьюдента определяется формулой: где коэффициент Вп зависит от объема выборки. Потребуем, чтобы выполнялось соотношение где γ - заданная надежность. Так как S (t, п) - четная функция от t, то, получим: Следовательно, приходим к утверждению: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а, точность оценки Здесь случайные величины X и S заменены неслучайными величинами и s, найденными по выборке. В приложении 4 приведена таблица значений t = t (γ, п) для различных значений п и обычно задаваемых значений надежности. Заметим, что при п ³ 30 распределение Стьюдента практически не отличается от нормированного нормального распределения Это связано с тем, что Задание 8-10. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найти доверительный интервал для с надежностью γ = 0,99, если п = 20, = 6,34, s = 0,40. Решение. Для γ = 0,99 и п = 20 находим по таблице приложения, что t γ = 2,861. Следовательно, δ = = »0,26. Концы доверительного интервала 6,34 - 0,26 = 6,08 и 6,34 + 0,26 = 6,60. Ответ. Доверительный интервал (6,08; 6,60) покрывает с надежностью 0,99.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 2091; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.200.26.112 (0.008 с.) |