Тема 8. Элементы математической статистики

Тема 8. Элементы математической статистики

План:

1. Основные понятия математической статистики

2. Выборочный метод

3. Числовые характеристики выборки

4. Интервальные оценки, доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Теоретические сведения

Наука "теория вероятностей" неотделима от другой математической науки, которая получила название "математическая статистика". Эти две науки дополняют друг друга во многих, общих и частных вопросах

Основные понятия

1.1. Математическая статистика как наука.

Для успешного функционирования человеческого общества требуется различные сведения о людях, входящих в него. Это, например, сведения о числе жителей, число детей, мужчин и женщин, стариков, рожденных в определенный год. Часто требуются сведения об образовании, наличии вооружения, денежных средств. Таковые сведения и им подобные образуют статистические данные. Их часто называют вариантами, переменными, значениями, величины и др. Над статистическими данными можно проводить определенные математические операции, по ним можно строить про­гнозы, оценивать их достоверность. Всем этим занимается мат математическая наука, которая получила название «математическая статистика" Таким образом, в математике сформировалась новая область, изучающая общие закономерности статистических данных или яв­лений и взаимосвязи между ними.

Статистика представляет собой отрасль знаний, которая обрабатывает большие массивы данных

Объектом исследования статистических данных являются однородные массовые явления, которые отличаются друг от друга по единичному показателю или, как говорят, имеют, варьирующие показатели

Предметом исследования статистики является оценка статистических совокупностей, где применяется специальные математико-статистические методы, которые имеют определенную цель при обработке результатов.

Сфера применения математической статистики распространилась во многие, особенно экспериментальные, науки. Так появились экономическая статистика, медицинская статистика, биологическая статистика, статистическая физика и т.д. С появлением быстродействующих ЭВМ возможность применения математической статистики в различных сферах деятельности человека постоянно возрастает. Расширяется ее приложение и к области фи­зической культуры и спорта. В связи с этим основные понятия, положения и некоторые методы математической статистики рассматриваются в курсе "Спортивная метрология".

На современном этапе развития математической статистики и метрологии можно говорить о новом направлении в математике как "Спортивная статистика", как науке об однородных массовых явлениях в практике физкультуры и спорта.

Одним из основных понятий математической статистики являются "статистические данные", которые трактуются как собранные сведения, об одном или нескольких объектах, которые могут подвергаться статистиче­ской обработке.

Виды статистических данных:

1. Качественные. Труднодоступные для измерения или не подвергающие измерению, ввиду того, что их невозможно измерить. К таковым можно отнести цвет объекта, результат выполнения операции сравнения (равно, больше, меньше; сильно, слабо),

2. Количественные. Их можно измерять и представить в виде числа общих мер (12 кг. 5м, 10 раз, 15с);

3. Точные. Величина или качество таких данных не вызывают сомнений. Группа состоит из 5 человек, в классе находится 5 столов.

4. Приближенные. Величина или качество которых - вызывает сомнение. Любые измерения приводят к приближенным данным. Например, рост, вес, время. К ним относятся близкие понятия: синий или голубой цвет, мокрый или влажный

5. О пределенные (детерминированные). Причины их появления, не появления или изменения известны. Например, 2 + 3 = 5, подброшен­ный вверх камень обязательно будет в определенный момент иметь вертикальную скорость, равную 0.

6. Случайные. Причины их появляться, не появляться или изменения не известны. Например, пойдет дождь, команда выиграет, результат в беге на 100 будет равен 12,2с, при­нятая нагрузка вредная.

В большинстве случаев в физической культу­ре и спорте мы имеем дело с приближенными случайными или случайными данными.

 

Статистическим признаком назы­вают общее свойство, присущее нескольким статистическим данным. Например, рост игроков команды, ре­зультат бега на 100 м, принадлежность объекта к какому-то виду. к виду спорта, частота сердечных со­кращений и т.д.

1. 2. Статистические совокупности

Статистической совокупностью называют несколько статистических данных, объединенных в группу хотя бы одним статистическим признаком. Например, спортсмены, имеющие одинаковый разряд, пол, возраст. Общим признаком может служить и некоторый показатель: например, результаты прыжков в длину.

Объемом статистической совокупности называют число данных, входящих в нее. Например, в соревновании участвовали n=20 человек

Различают следующие совокупности:

1. Бесконечные - n=¥. Число элементов таких совокупностей не может быть уставлено ввиду того, что их большое количество (масса планет, число молекул, множество натуральных чисел)

2. Конечные - п - конечное число,

3. Большие - п> 30;

4. Малые - п < 30;

5. Генеральные - содержащие все данные, обусловленные постановкой задачи

6. Выборочные - некоторые части генеральных совокупностей.

 

Законы, свойства понятия математической статистки и весь ее математический аппарат позволяет не только механически обрабатывать статистические данные, но способствует анализировать, оценивать, сравнивать объекты о или нескольких совокупностей.

При проведении научных методических и иных исследований для чистоты эксперимента организуются одна или несколько контрольных группа и экспериментальных групп. Каждая из них должна быть равносильна остальным по исследуемым показателям. При этом перед экспериментатором и его оппонентами непосредственно могут возникнуть такие вопросы как:

1. Какова должна быть численность групп?

2. Можно ли утверждать то, что в экспериментальной группе не допущена фальсификация фактов?

3. Насколько достоверны полученные результаты?

4. С помощью какого математического аппарата надо обрабатывать полученные данные? и т.д.

Каждый из таких вопросов требует однозначного или приближенного, но с высокой точностью достоверности ответа. Надо отметить, что математическая статистика успешно решая проблемы, возникающие на основе перечисленных вопросов, вооружает исследователей необходимым математическим аппаратом, давая соответствующие теоретические обоснования и практические рекомендации.

Выборочный метод

Нормального распределения

Оценка точности измерений.

В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с по­мощью среднего квадратического отклонения σ случайных ошибок измерений.

Для оценки σ используют "исправленное" среднее квадратическое отклонение s.

Поскольку обычно результаты изме­рений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений), то оценка тонности измерений можно произвести согласно утверждениям, рассмотренных в пункте 4.4

Задание 8-13. По 16 независимым равноточным измерениям най­дено "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 0,4. Найти точность измерений с надежностью γ= 0,99.

Как отмечено выше, точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением σ случайных ошибок изме­рений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного ин­тервала вида:

(s – sq; s + sq),

Он покрывает σ с заданной надежностью γ = 0,99 (п. 4.4).

По таблице приложения по γ = 0,99 и п = 16 найдем q = 0,70.

Доверительный интервал

Ответ

Примерная тематика практических занятий.

1. Обработка числовых данных методом средних величин.

2. Обработка числовых данных методом интервалов

3. Вычисление математического ожидания нормального распределения; интервальное оценивание вероятности события.

Контрольные вопросы

1. Определение математической статистики как науки и как раздела математики

2. Виды статистических данных и статистических совокупностей.

3. Привести примеры детерминированных и случайных величин. Может ли величина одновременно, отвечать обоим указанным условиям одновременно?

4. Привести примеры статистических признаков.

5. Способы формирования выборки

6. Частота наступления событий

7. Числовые характеристики выборки

8. Генеральные и выборочные показатели.

9. Понятии дисперсии и ее виды.

10. Точечные и интервальные оценки

11. Понятие доверительного интервала.

12. Понятие оценки истинного значения измеряемой величины

 

Требования к знаниям умениям и навыкам

Студент должен иметь представление о выборке. Иметь понятие о дискретных и интервальных вариационных рядах. Уметь находить основные числовые характеристики выборки, строить полигоны и гистограммы. Иметь представление о точечной оценке для генеральной средней (математического ожидания), дисперсии и среднеквадратического отклонения. Иметь представление об интервальной оценке математического ожидания при известной дисперсии

 

 

Тема 8. Элементы математической статистики

План:

1. Основные понятия математической статистики

2. Выборочный метод

3. Числовые характеристики выборки

4. Интервальные оценки, доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Теоретические сведения

Наука "теория вероятностей" неотделима от другой математической науки, которая получила название "математическая статистика". Эти две науки дополняют друг друга во многих, общих и частных вопросах

Основные понятия

1.1. Математическая статистика как наука.

Для успешного функционирования человеческого общества требуется различные сведения о людях, входящих в него. Это, например, сведения о числе жителей, число детей, мужчин и женщин, стариков, рожденных в определенный год. Часто требуются сведения об образовании, наличии вооружения, денежных средств. Таковые сведения и им подобные образуют статистические данные. Их часто называют вариантами, переменными, значениями, величины и др. Над статистическими данными можно проводить определенные математические операции, по ним можно строить про­гнозы, оценивать их достоверность. Всем этим занимается мат математическая наука, которая получила название «математическая статистика" Таким образом, в математике сформировалась новая область, изучающая общие закономерности статистических данных или яв­лений и взаимосвязи между ними.

Статистика представляет собой отрасль знаний, которая обрабатывает большие массивы данных

Объектом исследования статистических данных являются однородные массовые явления, которые отличаются друг от друга по единичному показателю или, как говорят, имеют, варьирующие показатели

Предметом исследования статистики является оценка статистических совокупностей, где применяется специальные математико-статистические методы, которые имеют определенную цель при обработке результатов.

Сфера применения математической статистики распространилась во многие, особенно экспериментальные, науки. Так появились экономическая статистика, медицинская статистика, биологическая статистика, статистическая физика и т.д. С появлением быстродействующих ЭВМ возможность применения математической статистики в различных сферах деятельности человека постоянно возрастает. Расширяется ее приложение и к области фи­зической культуры и спорта. В связи с этим основные понятия, положения и некоторые методы математической статистики рассматриваются в курсе "Спортивная метрология".

На современном этапе развития математической статистики и метрологии можно говорить о новом направлении в математике как "Спортивная статистика", как науке об однородных массовых явлениях в практике физкультуры и спорта.

Одним из основных понятий математической статистики являются "статистические данные", которые трактуются как собранные сведения, об одном или нескольких объектах, которые могут подвергаться статистиче­ской обработке.

Виды статистических данных:

1. Качественные. Труднодоступные для измерения или не подвергающие измерению, ввиду того, что их невозможно измерить. К таковым можно отнести цвет объекта, результат выполнения операции сравнения (равно, больше, меньше; сильно, слабо),

2. Количественные. Их можно измерять и представить в виде числа общих мер (12 кг. 5м, 10 раз, 15с);

3. Точные. Величина или качество таких данных не вызывают сомнений. Группа состоит из 5 человек, в классе находится 5 столов.

4. Приближенные. Величина или качество которых - вызывает сомнение. Любые измерения приводят к приближенным данным. Например, рост, вес, время. К ним относятся близкие понятия: синий или голубой цвет, мокрый или влажный

5. О пределенные (детерминированные). Причины их появления, не появления или изменения известны. Например, 2 + 3 = 5, подброшен­ный вверх камень обязательно будет в определенный момент иметь вертикальную скорость, равную 0.

6. Случайные. Причины их появляться, не появляться или изменения не известны. Например, пойдет дождь, команда выиграет, результат в беге на 100 будет равен 12,2с, при­нятая нагрузка вредная.

В большинстве случаев в физической культу­ре и спорте мы имеем дело с приближенными случайными или случайными данными.

 

Статистическим признаком назы­вают общее свойство, присущее нескольким статистическим данным. Например, рост игроков команды, ре­зультат бега на 100 м, принадлежность объекта к какому-то виду. к виду спорта, частота сердечных со­кращений и т.д.

1. 2. Статистические совокупности

Статистической совокупностью называют несколько статистических данных, объединенных в группу хотя бы одним статистическим признаком. Например, спортсмены, имеющие одинаковый разряд, пол, возраст. Общим признаком может служить и некоторый показатель: например, результаты прыжков в длину.

Объемом статистической совокупности называют число данных, входящих в нее. Например, в соревновании участвовали n=20 человек

Различают следующие совокупности:

1. Бесконечные - n=¥. Число элементов таких совокупностей не может быть уставлено ввиду того, что их большое количество (масса планет, число молекул, множество натуральных чисел)

2. Конечные - п - конечное число,

3. Большие - п> 30;

4. Малые - п < 30;

5. Генеральные - содержащие все данные, обусловленные постановкой задачи

6. Выборочные - некоторые части генеральных совокупностей.

 

Законы, свойства понятия математической статистки и весь ее математический аппарат позволяет не только механически обрабатывать статистические данные, но способствует анализировать, оценивать, сравнивать объекты о или нескольких совокупностей.

При проведении научных методических и иных исследований для чистоты эксперимента организуются одна или несколько контрольных группа и экспериментальных групп. Каждая из них должна быть равносильна остальным по исследуемым показателям. При этом перед экспериментатором и его оппонентами непосредственно могут возникнуть такие вопросы как:

1. Какова должна быть численность групп?

2. Можно ли утверждать то, что в экспериментальной группе не допущена фальсификация фактов?

3. Насколько достоверны полученные результаты?

4. С помощью какого математического аппарата надо обрабатывать полученные данные? и т.д.

Каждый из таких вопросов требует однозначного или приближенного, но с высокой точностью достоверности ответа. Надо отметить, что математическая статистика успешно решая проблемы, возникающие на основе перечисленных вопросов, вооружает исследователей необходимым математическим аппаратом, давая соответствующие теоретические обоснования и практические рекомендации.

Выборочный метод