Генеральная и выборочная средние.

При обработке данных могут быть рассмотренными средние показатели, которые могут быть генеральными или выборочными средними значениями.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N относительно количественного признака X.

Генеральной средней х_сред (или а) назы­вается среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x₁ x₂,..., х_п признака генеральной совокуп­ности объема N различны, то

Как уже отмечалось ранее, извлечение объекта из генеральной совокупности есть наблюдение случайной величины X.

Пусть все значения x_it x_z,..., х_п различны. Так как каждый объект может быть извлечен с одной и той же вероятностью 1 / N, то

Такой же итог следует, если значения x_1t x₂,..., х_k имеют со­ответственно частоты ni, N₁, N₂, …N_k

В случае непрерывного распределения признака X полагают x _сред = М (X).

 

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X произведена выборка объема п.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокуп­ности.

Если все значения x₁ x₂,..., х_п признака выборки объема п различны, то

или

Задание 8-3. Выборочным путем были получены следующие данные о массе 20 яблок (в г): 30, 30, 25, 32, 30,25,33,32,29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23.28. 31. ЯВ. ЯП. Найти выборочную среднюю величину .

Решение:

Ответ

 

Ниже, не уменьшая общности рассуждений, будем считать зна­чения x₁ x₂,..., х_п признака различными.

Выборочная средняя для различных выборок того же объема п из той же генеральной совокупности будет получаться, вообще говоря, различной. И это не удивительно - ведь извлече­ние 1- го по счету объекта есть наблюдение случайной величины X_t, а их среднее арифметическое есть тоже случайная величина.

Таким образом, всевозможные могущие получиться выборочные средние есть возможные значения случайной величины X, которая называется выборочной средней случайной величиной.

 

Найдем М (), пользуясь тем, что М (X_i) = М (X).

С учетом свойств МО получаем:

Итак, М (Х) (МО выборочной средней) совпадает с а (генеральной средней).

Найдем D (X). Так как D (Х_i) = D (X) и X₁ X₂ … Х„ независимы, то согласно свойствам дисперсии получаем:

Если варианта х_i большие числа, то для облегчения вычисления выборочной средней применяют сле­дующий прием. Пусть С - константа.

Так как

то:

Константу С (так называемый ложный нуль) берут такой, чтобы, разности x_i - С были небольшими и число С было "круглым", а именно, оканчивалось нулями.

 

Задание 8-4. Для заданной выборки найти выборочную среднюю величину.

Решение. Берем ложный ноль С - 72,00 и вычисляем разности: a_i= x_i - С

а₁ + а₂ + … + a₁₀ = -0,38; среднее арифметиче­ское: - =-038: 10 = -0,038» - 0,04.

Выборочная средняя равна разности между ложным нулем и найденным средним значением: