Задачи на посторонние математических моделей.

3.1. Математическая модель связывают математику и реальную жизнь.

Под математической моделью можно математическое описание любой ситуации.

В зависимости от задачи (ситуации, опыта и др.) модель может быть примитивной, сложной, или вообще чрезвычайно сложной (супер моделью)

В любом деле, где нужно чего-нибудь вычислить, узнать численность, применить формулу уже можно вести речь о математическом моделирование, построении математической модели.

 

Задача 1. Покупатель. Установить расходы на покупки. Пусть требуется купить хлеб, масло, чай. При этом нужно знать цену каждого продукта и число единиц каждого купленного товара.

Модель, например, может иметь вид формулы:

S=nx+my+tz, где y,t,z цена соответственно буханки хлеба, пачки масла и чая;

m,n,t –число купленных единиц товара;

S – стоимость всей покупки.

Сама эта формула и есть модель моделью расходов на покупки. При этом модель не учитывает вид упаковки, сорт и срок годности, вежливость кассиров, наличия денег в кошельке, погоду на улице и др. Это модель, а не реальная покупка, по которой устанавливается стоимость всей покупки.

Из этой задачи следует аксиома: модель должна быть составлена правильно.

Составить математическую модель - это значит, перевести условия задачи в математическую форму. уравнение, формулу, неравенство и т.д. Причём превратить так, чтобы эта математика строго соответствовала исходному тексту. Это значит, что построение модели есть установление связей между всеми данными задачи.

Задача 2. Ремонт. Построить модель, расчета стоимости затрат ремонта квартиры (офиса, дачи, автомобиля и др.)

Задача 3. Фермер. Устранить вид выращиваемых культур, предполагаемой спрос на них, расходы по переработке, потери при хранении и др.

 

Задач и возможных моделей их решения бесконечное количество и указать четкий алгоритм решения любой задачи невозможно, но, тем не менее, можно установить общие принципы построения математических моделей, об этом будет вестись речь при изучении дальнейших разделов и тем.

Рассмотрим некоторую абстрактную задачу.

1. В любой задаче есть текст, в котором просматривается условие и заключение, есть разъяснительная часть и также имеется явная, открытая информация. Например, числа, значения, виды отношений, область задания и применения и многое другое.

2. В любой задаче имеется скрытая информация. Это информация, которая предполагает наличие дополнительных знаний (формулы, котировки, условия получения кредитов). Надо иметь ввиду, что математическая информация может скрывается за простыми словами и дилетант в математике ее может не увидеть.

3. В любой задаче должно быть дана связь данных между собой. Эта связь может быть очевидной или скрытой, что может быть упущено при составлении первичной мидели.

Здесь указаны, на первый взгляд простые, аксиоматичные истины, но без серьезного математического образования невозможно составить модель решения даже простенькой задачи (ситуации)

Задача 4 Рыбак Комическая ситуация. "Хозяин" вернулся с рыбалки с уловом. Он принес 20 сардин, 30% всех рыбин - скумбрий и 1 сазана из местной реки, Сколько всего рыбин куплено в магазине?

Составим математическую модель этой ситуации (уравнение, неравенство др.)

Нужно, установить математическую связь между всеми данными задачи.

1. Явная математическая информация: 20 рыбин и 30%.

2. Скрытая информация. Это слова: "30% всех рыбин".

3. Дополнительная информация, Нужно понимать, что такое проценты

4. Не видимая математическая информации - вопрос задачи: "Сколько всего рыбин купил..." Это тоже какое-то число. Обозначим это число буквой "х".

х штук - общее количество рыб. 30%=0,3.

х = 20 + 1+0,3х – искомая модель в виде уравнения.

Решение 0,7x=21; x=21/0,7=30. Ответ: х=30.

 

Задача 5. Иван да Марья. Спросила Марья Ивана: "Сколько у тебя денег?" Иван отвечает "Да всего чуть-чуть. Если я потрачу половину всех денег, да половину остатка, то всего-то 10 рублей у меня останется." Сколько денег у Ивана?

1. Явная информация. 10 рублей.

2. Скрытая информация. Это половина. Но не очень понятно от чего. Есть вопрос задачи: "Сколько денег у Ивана" Обозначим количество денег буквой "х":

х - все деньги

Зная, что у Ивана х денег, тогда 0,5·х - половина всех денег.

Остаток равен: x-0,5x=0,5x. Слова "потрачу половину остатка" требуют применения дополнительной информации нахождения дроби от числа: половины от половины:

0,5·0,5·х = 0,25х - половина остатка. Скрытая информация выявлена и записана.

3. Связь между записанными данными. Слова "Если я потрачу половину всех денег..." дают возможность сделать записи:

Всего денег - х. Половина - 0,5·х. Потратить - это отнять х - 0,5·х, да половину остатка. Вычтем ещё половину остатка: х - 0,5·х - 0,25х

По условию после всех вычитаний осталось 10руб. Запишем этот факт в виде уравнения:

х - 0,5·х - 0,25х = 10 - математическая модель. Ответ: х = 40

 

Рассмотренные задачи на уровне начальной школы, но суть составления модели не меняется ее надо уловить. В задачах может быть десяток, второй данных, в которых легко запутаться. Некоторые из таких задач получили название "компетентностных задачи".

Например, в задачах на движение требуется держать в голове формулу-ключ: связь расстояния, скорости и времени. По ссылке можно посмотреть примеры составления модели и решения таких задач. В задачах на работу надо чётко понимать формулу-ключ: связь времени, производительности труда и объёма работы. Там имеются свои фишки, с которыми можно ознакомиться по ссылке. В задачах, связанных с пропорциональными величинами свои трудности и т.д.

Как находить математическое содержание из формулировки таких задач рассмотрим на нескольких примерах

Почти любая математическая модель может применяться к определенному множеству виду задач. Так в задаче про рыбака можно вместо рыбы взять "арбуз", "телевизор", "карандаш" и др. В задаче "Иван да Марью" можно взять не 10 рублей, другое число и не рубли, а юани, мешки, сундуки.

Интересны обратные ситуации, кода по модели нужно составить задачу. Тема задачи может быть совершенно любой, ограниченная только математикой.

 

Задача 6. Составить задачу по математическим моделям:

а). х + (х+10) + (х-30) + 20 = 120. На движение (пешеходы, поезда, катера..)

б). 1 = 5·(х + 2х + 2х + 3х + 4х). На работу, совместную работу (трубы, пахари …)

Замечание. Предполагается, что в задачах информации необходимое и достаточное количество, нет лишней или не достающей информации. На практике это далеко не так. В компетентностных и жизненных задачах эти правила строго не соблюдаются. Но и такие задачи можно решать.