Раздел 1. Основы моделирования

Раздел 1. Основы моделирования

Тема 1.1. Математические модели

1. Понятие математические модели.

2. Основные принципы построения моделей, аналитические и статистические модели.

3. Задачи на посторонние математических моделей.

 

Теоретические сведения

Понятие математические модели.

Классификация моделей

1. Модели структурные и функциональные.

Структурные или статистические модели – это модели, описывающие состояние объекта в некоторый выбранный момент времени. К ним относится чертеж, фотография, муляж.

Функциональные или динамические модели – это модели, описывающие процессы, происходящие внутри объекта или процессы, возникшие в связи с взаимодействием выбранного объекта с другими объектами. К таковым можно отнести действующий макет объекта или составляющей его части, демонстрирующий некоторые действия или возможности.

2. Модели натурные и информационные

Натурные модели материальные модели. К ним относятся игрушки, манекены, фотографии, тренажеры, эрзацы.

Информационные модели не материальные модели. Это описание объекта или явления, как словесное описание, так и математическое описание в виде формул.

Информационные модели делятся на:

~ непрерывные модели (математическая функция, график)

~ дискретные или знаковые модели.

Дискретные модели представлены с помощью набора знаков алфавита и созданного на его основе разговорного языка с неформализованным синтаксисом (толкование, мнение, характеристика, описание) или с помощью формального языка, имеющего жесткий синтаксис, жесткий набор лексических единиц (математическое описание, логические структуры, нотная азбука, запись шахматной партии)

Информационные модели должны иметь собственного материального носителя информации. Это может быть бумага, дискета, человек. Модель может быть записана различными способами с применением различных инструментов: чернила, мел, экран монитора и др.

Одной из разновидностей натурной или информационной моделью, является имитационная модель. Под имитационным моделированием следует понимать исследование, основанное на замене изучаемого прототипа его имитацией (натурной или информационной моделью) с чем и проводится эксперимент ч целью получения информации об особенностях прототипа.

3. Модели проверяемые и не проверяемые

Проверяемые модели такие модели, у которых результат их использования может быть соотнесен (сравнен) с прототипом или проверен каким либо другим методом. Например математическая модель может быть проверена экспериментом с реальными объектами или с их иными моделями.

Непроверяемые модели – такие модели, результат их использования не может быть проверен. Например, религиозные понятия и утверждения невозможно проверить с целью установления их истинности. Модель мироздания также проверить не возможно.

Непроверяемые модели одного и того же объекта следует считать равноправными. Например, множество религий или суждений об устройстве вселенной

4. Модели по назначению.

Назначение моделей может быть весьма разнообразным:

Иллюстративно описательные модели – создаются для демонстрации строения или функционирования прототипа.

Имитационные модели – применимы для исследования свойств прототипа и процессов в нем.

Управленческие модели – предназначены для осуществления управления прототипом.

5. Воображаемые модели – модели таких объектов, с которыми человек встречается непосредственно, но оригинала прототипа в принципе не может существовать в природе. К ним относится: геометрическая точка, прямая, плоскость, в том числе любая геометрическая фигура. Бесконечность – трудно моделируемое понятие. Идеальный газ, абсолютно темное тело в физике.

6. Детерминированные модели – это модели, отображающие процессы, в которых отсутствуют случайные воздействия.

7. Вероятностные модели (стохастические – догадка с греческого языка). Это описание объектов, поведение которых определяется случайными воздействиями (внешними или внутренними); описание вероятностных процессов и событий, характер изменения которых во времени точно предсказать не возможно.

8. Математические модели – особый класс моделей, часто не воспринимаемые людьми, у которых есть проблемы в математическом образовании.

Замечания.

Классифицировать модели можно по разным критериям.

1. По характеру решаемых проблем модели, как сказано выше, могут быть разделены на функциональные и структурные.

В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин.

Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами.

Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи.

Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению.

Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

2. По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические.

Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания.

Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер

Требования, предъявляемые к моделям.

Универсальность - характеризует полноту отображения моделью изучаемых свойств реального объекта.

Адекватность - способность отражать нужные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.

Точность - оценивается степенью совпадения значений характеристик реального объекта и значения этих характеристик полученных с помощью моделей.

Экономичность - определяется затратами ресурсов ЭВМ памяти и времени на ее реализацию и эксплуатацию.

 

Примеры моделирования физических экспериментов.

Чтобы изучить особенности поведения некоторого индивидуума в той или иной ситуации, необходимо описать как такого индивидуума, так и ту среду, в которой он может находиться. В таких случаях говорят об идеальных моделях состояний.

Например, игра в шахматы. Трудно предсказать все возможные ходы противника, но при подготовке к игре, квалифицированный шахматист найдет возможность просмотреть записи нескольких прежних партий своего будущего противника и попробует оценить его манеру игры, усмотреть лучшие его комбинации и др. А, именно, построить модель игры своего противника, спрогнозировать ее, согласно построенной гипотезе.

Смоделировать также можно поведение спасателей в различных ситуациях, поведение автомобиля на скользкой дороге, поведение реки в весеннее половодье.

В таких случаях, в принципе, можно вести речь о желании построить идеальную модель будущей ситуации. Идеальная модель может быть информационной, математической, графической и иной, оптимальной для прогнозируемой ситуации.

Моделирование, связанное с построением идеальной модели зарекомендовало себя с лучшей стороны, ходя идеальная модель может быть весьма далекой от реальной ситуации.

Моделирование идеальной ситуации осуществляется на основе различных принципов. К таковым относится:

Принцип статистического перебора

Принцип сравнения с эталоном.

Принцип комбинированных сочетаний

Рассмотрим моделирование ситуации в спорте. которые рассматриваются в такой науке как "спортивная метрология" – науке об измерениях в спорте.

 

В качестве примера рассмотрим построение комплекса моделей (микромоделей) на основе реализации принципа перебора.

Поскольку количественное выражение модельных характеристик можно выразить статистическим путем с заданным шагом перебора, то можно создать модели, параметры которых представлены статистически.

Задача 7. Модельные характеристики роста спортсмена

Пусть рост спортсмена колеблется от 140см до 240см, тогда его статистическое выражение можно показать через определенный шаг, что образует статистический ряд. Шаг перебора, обозначим его через D, можно менять и получать различные статистические ряды.

Если Dх = 10см, получится статистический ряд: 140, 150, …230, 240.

Если Dу = 20см, получится статистический ряд: 140, 160, …,220, 240

После установки шага перебора и составления статистического ряда следует выявить взаимосвязи всех этих численных значениях характеристик с показателями другого ряда, например массы спортсмена, его прыжка, скорости бега т др. Таковых характеристик может быть несколько.

Задача 8. Модель "Тактика спринтерского бега". Числовые характеристики: длина дистанции 100м, результат 10,6с.

Решение.

1. Дистанция делится на три части, соответствующие трем качественно различным видам бега.

S₁ – начальная часть дистанции, от старта до максимальной скорости разбега (критической скорости). Согласно эмпирическим наблюдениям начальная стадия колеблется от 42 до 62м..

S₃ – конечная часть дистанции, колеблется от 12 до 17м.

S₂ – средняя часть дистанции, колеблется от 100(62+17)=31(м) до 100(42+12)=46(м) или в общем виде S₂ =100(S₁ + S₃)

Для определенности, принимается условие, что скорость спортсмена на каждом выделенном участке равномерная. Пусть эмпирические наблюдения показали, что скорости их прохождения равны:

Участок S₁ скорость 8,9 £ v₁ £ 9,1

Участок S₂ скорость 9,9 £ v₂ £ 10,1

Участок S₃ скорость 10,9 £ v₃ £ 11,1

Время прохождения каждой дистанции вычисляется по формуле t=S / v

2. Постоим первую микромодель:

S₁= 42м; S₃ =17м; S₂=100(42+17)=41м

v₁=8,9м/с v₃ = 10,9м/с v₂ = 9,9м/с

t₁ = 42: 8,9 t₃ = 17:10,9 t₃ =41:9,9

T₁=t₁ + t₂ + t₃ = 42: 8,9+41: 9,9+17:10,9=10,419(с)

3. Строим последующие модели, используя шаг перебора Dv=0,1м/с по скорости для каждого участка дистанции, а затем строится модели, используя шаг перебора DS=1м по протяженности участков дистанции. Общее число таких моделей равно 162.

4. В качестве примера приведем еще одну микромодель, изменив на один шаг скорость на третьем участке дистанции, а остальные показатели, оставив прежними.

S₁= 42м; S₃ =17м; S₂=100(42+17)=41м

v₁=8,9м/с v₃ = 10,9 +0,1 =11,0 (м/с) v₂ = 9,9м/с

t₁ = 42: 8,9 t₃ = 17:11,0 t₃ =41:9,9

T₂ =42:8,9+41:9,9+17:11,0=10,405(с)

Все получившиеся микромодели имеют приближенное значения и поэтому имеют все одинаковую неточность, поэтому их можно сравнивать. В данном примере мы не будем рассматривать все модели, а укажем только на принцип их построения. Предположим, что по результатам теоретического моделирования установили, что время прохождения дистанции 100м колеблется 10,419 £ T £ 10,215, тогда наилучший результат Т=10,215с

Он достигается если:

S₁ =42м при v₁=9,1м/с; S₂ =42м при v₂=10,1м/с; S₃ =416м при v₃=11,1м/с.

Вывод. Теперь тренер, комбинируя длинами участков и скоростями их прохождения, может составить индивидуальный график прохождения дистанции. Наличие 162 микромодели можно расценивать как 162 способа прохождения дистанции в 100м.

Если скорость прохождения участков дистанции связать с длиной шага L(м) и частотой шагов в секунду n, то получим v=L·n. Далее перебирая различные длины шага 0,6 £ L £ 1,4 при различной частоте 6 £ т £ 20, можно для каждого спортсмена разработать оптимальный вариант бега на 100м.

На первый взгляд кажется, что этот прием моделирования связан с трудоемким вычислительным процессом. Этот процесс значительно упрощается, если вычисления вести на компьютере, с применением электронных таблиц Excel

 

Принцип сравнения с эталоном предполагает наличие исходных статистических микромоделей, которые могут быть получены любым путем, в том числе и расчетным, например, на основе статистического перебора. При постарении модели на основе статистического перебора, микромодели сравнивались между собой для выбора оптимально варианта. В данном случае происходит сравнение реальных показателей с некоторым эталоном, на основе которого рассчитаны "идеальные" показатели или идеальные микромодели.

 

Задача 9. Модель "Старт велосипедиста"

Решение.

1. Скорость на старте у велосипедиста изменяется от нулевой скорости до некоторой индивидуальной скорости. Хотя скорость и увеличивается, но говорить что движение его равноускоренно нельзя, оно будет приближаться к равноускоренному движению, что возьмем за основу расчета стартового пути по формуле

S=(v_t ·t) / 2, где v_t – скорость спортсмена, t время прохождения пути S.

2. В качестве модельных характеристик примем величину времени старта t от 1с до 180с и величину дистанционной скорости v_t от 1 м/c до 50м/c. Конечные значения характеристик получаются эмпирическим путем и берутся максимально возможные.

Строится таблица расчетных (идеальных) стартовых участков. Величина таблицы (число строчек и столбиков) определяется согласно выбранным статистическим рядам по стартовым скоростям и по времени:

Dt=10с, получили ряд: 10,20,30,…170,180.

Dv=5м/с, получили ряд 5,10,15,…45,50

Далее ведутся вычисления, результаты которых заносятся в таблицу

t₁=10, v₁=5, S=(5·10):2=25(м)

t₁=10, v₂=10, S=(10·10):2=50(м) и т.д., перебирая все 180 вариантов.

t₁₀ =10, v₅ =25, S=(25·10):2=1225(м)

Замечания.

Обобщение. При прохождении старта, берутся реальные показатели v, t, S. Рассчитывается реальный стартовый путь и сравнивается с идеальным показателем соответствующего пути. Например, пусть скорость 40м/с спортсмен достиг за 10с, показав путь 280м. Расчетный путь равен (40·10):2=200(м). Разница составляет 280200=80(м)..Реальное расстояние оказалось большим, но техника старта не соответствует расчетной. технике старта.. Тренер должен решать: хорошо это или плохо.

Превышение расчетного стартового расстояния может быть за счет увеличения скорости за меньший промежуток времени или за счет увеличения времени по набору определенной скорости. Это следует теоретически из зависимости одного компонента действия умножения от изменения другого при постоянном произведении. Зависимость здесь обратно пропорциональная.

Принцип комбинаторных сочетаний основан на том утверждении, что модельные характеристики могут сочетаться между собой разными способами, вариантами. Последовательность появления их может быть различной. Все модельные характеристик должны существовать вне зависимости наличия других характеристик. Это возможно только в ациклических (не циклических) видах. Например, в фехтовании, где одно и тоже движение может повториться несколько раз, вне зависимости от выполнения других движений. В циклических видах одни и тоже движения повторяются не однократно: бег, гребля, велосипед и др.

Принцип комбинаторных сочетаний применим только в ациклических видах. Модели строятся на основе комбинаторных задач: перестановок, размещений, сочетаний. Метод статистического перебора в ациклических видах применяется частично. Применение метода комбинаторных сочетаний требует определенной математической подготовки. табличной и графической иллюстрации. В данном курсе мы не будем его рассматривать, ограничимся лишь приведенными выше замечаниями.

Практические занятия

1. Построение информационных моделей отдельных видов деятельности людей (выполнение бросков спортивных снарядов, работа за пультом управления, вождение машины, записи в тетради и др.)

2. Описание несколькими моделями одного и того действия или явления.

3. Построение одной модели для различных действий или явлений.

4. Построение информационных моделей выполнения арифметических действий.

Контрольные вопросы

1. Приведите различные трактовки понятия "Модель"

2. Может ли быть моделью действия одного человека для другого?

3. Являются ли моделями: характеристика учащегося: схема компьютера, учебное кино, описание действия человека при выполнении некоторых действий, наглядные пособия, применяемые учителем на уроке?

2. Приведите примеры структурных моделей.

3. Что можете сказать о воображаемых моделях?

4. Укажите на некоторые особенности спортивного (технического, строительного, общественного) моделирования

Самостоятельная работа студентов

1. Понятие задачи.

2. Решение задачи с точки зрения моделирования.

3. Привести информационные и математические модели для описания одной и той же ситуации.

Требования к знаниям, умениям, навыкам

Студенты должны понимать роль модели в повседневной жизни. Уметь на интуитивном уровне моделировать ситуации, возникающие под воздействием 1-2 факторов. Понимать роль моделирования при решении конкретных задач. Понимать ситуации, которые можно отнести в задачам.

Раздел 1. Основы моделирования