Понятие математической модели.

Особую роль в науке играют математические модели, строительный материал и инструменты этих моделей - математические понятия.

Современная математика дает исключительно мощные и универсальные средства исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, является математической моделью.

При построении математической модели, изучаемого объекта или явления выделяют те его особенности, черты и детали, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формализацию.

Математическая формализация означает, что особенностям и деталям объекта можно поставить в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями и составными частями можно записать с помощью математических отношений: равенств, неравенств, уравнений. В результате получается математическое описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель.

Математическая модель – любое описание задачи, явления, процесса, объекта с помощью математических понятий, свойств, законов.

Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

Моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическая модель – множество элементов произвольной природы, на которых определено конечное число отношений.

Надо исходить из того, что для математического моделирования берутся отвлеченные объекты произвольной природы, которые можно заменять другими объектами. На одном и том же множестве объектов можно построить много математических моделей.

Пусть дано множество элементов M={a,b,c,…}, на котором задано множество отношений R={x,y.z,…}

Характер отношений может быть весьма разнообразным: больше, меньше, одинаковые, подобные. Например, на множестве людей можно задать отношение: быть другом. На множестве плоских фигур – иметь одинаковую площадь. На множестве натуральных чисел – быть делителем.

Отношения между объектами могут обладать следующими математическими свойствами: рефлективность, симметричность, транзитивность, антисимметричность, атнтирефлексивность, не транзитивность.

Комбинации указанных свойств отношений позволяют моделировать процессы между объектами различной природы.

Математические модели в узком значении термина широко применяется в теории принятия решений, математической лингвистике, информатике.

Математические модели в широком значении используются как описание задачи с использованием формальной математики.

Изучение математической модели всегда связанно с некоторыми правилами действия над изучаемыми объектами. Эти правила отражают связи между причинами и следствиями.

Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта.

Построение модели - это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал.

Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы, особенно в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам.

Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, "что было бы, если бы..." Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории.

В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия.

Однако все это можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.