Моделирования случайных величин

Примеры моделирования физических экспериментов.

Чтобы изучить особенности поведения некоторого индивидуума в той или иной ситуации, необходимо описать как такого индивидуума, так и ту среду, в которой он может находиться. В таких случаях говорят об идеальных моделях состояний.

Например, игра в шахматы. Трудно предсказать все возможные ходы противника, но при подготовке к игре, квалифицированный шахматист найдет возможность просмотреть записи нескольких прежних партий своего будущего противника и попробует оценить его манеру игры, усмотреть лучшие его комбинации и др. А, именно, построить модель игры своего противника, спрогнозировать ее, согласно построенной гипотезе.

Смоделировать также можно поведение спасателей в различных ситуациях, поведение автомобиля на скользкой дороге, поведение реки в весеннее половодье.

В таких случаях, в принципе, можно вести речь о желании построить идеальную модель будущей ситуации. Идеальная модель может быть информационной, математической, графической и иной, оптимальной для прогнозируемой ситуации.

Моделирование, связанное с построением идеальной модели зарекомендовало себя с лучшей стороны, ходя идеальная модель может быть весьма далекой от реальной ситуации.

Моделирование идеальной ситуации осуществляется на основе различных принципов. К таковым относится:

Принцип статистического перебора

Принцип сравнения с эталоном.

Принцип комбинированных сочетаний

Рассмотрим моделирование ситуации в спорте. которые рассматриваются в такой науке как "спортивная метрология" – науке об измерениях в спорте.

 

В качестве примера рассмотрим построение комплекса моделей (микромоделей) на основе реализации принципа перебора.

Поскольку количественное выражение модельных характеристик можно выразить статистическим путем с заданным шагом перебора, то можно создать модели, параметры которых представлены статистически.

Задача 7. Модельные характеристики роста спортсмена

Пусть рост спортсмена колеблется от 140см до 240см, тогда его статистическое выражение можно показать через определенный шаг, что образует статистический ряд. Шаг перебора, обозначим его через D, можно менять и получать различные статистические ряды.

Если Dх = 10см, получится статистический ряд: 140, 150, …230, 240.

Если Dу = 20см, получится статистический ряд: 140, 160, …,220, 240

После установки шага перебора и составления статистического ряда следует выявить взаимосвязи всех этих численных значениях характеристик с показателями другого ряда, например массы спортсмена, его прыжка, скорости бега т др. Таковых характеристик может быть несколько.

Задача 8. Модель "Тактика спринтерского бега". Числовые характеристики: длина дистанции 100м, результат 10,6с.

Решение.

1. Дистанция делится на три части, соответствующие трем качественно различным видам бега.

S₁ – начальная часть дистанции, от старта до максимальной скорости разбега (критической скорости). Согласно эмпирическим наблюдениям начальная стадия колеблется от 42 до 62м..

S₃ – конечная часть дистанции, колеблется от 12 до 17м.

S₂ – средняя часть дистанции, колеблется от 100(62+17)=31(м) до 100(42+12)=46(м) или в общем виде S₂ =100(S₁ + S₃)

Для определенности, принимается условие, что скорость спортсмена на каждом выделенном участке равномерная. Пусть эмпирические наблюдения показали, что скорости их прохождения равны:

Участок S₁ скорость 8,9 £ v₁ £ 9,1

Участок S₂ скорость 9,9 £ v₂ £ 10,1

Участок S₃ скорость 10,9 £ v₃ £ 11,1

Время прохождения каждой дистанции вычисляется по формуле t=S / v

2. Постоим первую микромодель:

S₁= 42м; S₃ =17м; S₂=100(42+17)=41м

v₁=8,9м/с v₃ = 10,9м/с v₂ = 9,9м/с

t₁ = 42: 8,9 t₃ = 17:10,9 t₃ =41:9,9

T₁=t₁ + t₂ + t₃ = 42: 8,9+41: 9,9+17:10,9=10,419(с)

3. Строим последующие модели, используя шаг перебора Dv=0,1м/с по скорости для каждого участка дистанции, а затем строится модели, используя шаг перебора DS=1м по протяженности участков дистанции. Общее число таких моделей равно 162.

4. В качестве примера приведем еще одну микромодель, изменив на один шаг скорость на третьем участке дистанции, а остальные показатели, оставив прежними.

S₁= 42м; S₃ =17м; S₂=100(42+17)=41м

v₁=8,9м/с v₃ = 10,9 +0,1 =11,0 (м/с) v₂ = 9,9м/с

t₁ = 42: 8,9 t₃ = 17:11,0 t₃ =41:9,9

T₂ =42:8,9+41:9,9+17:11,0=10,405(с)

Все получившиеся микромодели имеют приближенное значения и поэтому имеют все одинаковую неточность, поэтому их можно сравнивать. В данном примере мы не будем рассматривать все модели, а укажем только на принцип их построения. Предположим, что по результатам теоретического моделирования установили, что время прохождения дистанции 100м колеблется 10,419 £ T £ 10,215, тогда наилучший результат Т=10,215с

Он достигается если:

S₁ =42м при v₁=9,1м/с; S₂ =42м при v₂=10,1м/с; S₃ =416м при v₃=11,1м/с.

Вывод. Теперь тренер, комбинируя длинами участков и скоростями их прохождения, может составить индивидуальный график прохождения дистанции. Наличие 162 микромодели можно расценивать как 162 способа прохождения дистанции в 100м.

Если скорость прохождения участков дистанции связать с длиной шага L(м) и частотой шагов в секунду n, то получим v=L·n. Далее перебирая различные длины шага 0,6 £ L £ 1,4 при различной частоте 6 £ т £ 20, можно для каждого спортсмена разработать оптимальный вариант бега на 100м.

На первый взгляд кажется, что этот прием моделирования связан с трудоемким вычислительным процессом. Этот процесс значительно упрощается, если вычисления вести на компьютере, с применением электронных таблиц Excel

 

Принцип сравнения с эталоном предполагает наличие исходных статистических микромоделей, которые могут быть получены любым путем, в том числе и расчетным, например, на основе статистического перебора. При постарении модели на основе статистического перебора, микромодели сравнивались между собой для выбора оптимально варианта. В данном случае происходит сравнение реальных показателей с некоторым эталоном, на основе которого рассчитаны "идеальные" показатели или идеальные микромодели.

 

Задача 9. Модель "Старт велосипедиста"

Решение.

1. Скорость на старте у велосипедиста изменяется от нулевой скорости до некоторой индивидуальной скорости. Хотя скорость и увеличивается, но говорить что движение его равноускоренно нельзя, оно будет приближаться к равноускоренному движению, что возьмем за основу расчета стартового пути по формуле

S=(v_t ·t) / 2, где v_t – скорость спортсмена, t время прохождения пути S.

2. В качестве модельных характеристик примем величину времени старта t от 1с до 180с и величину дистанционной скорости v_t от 1 м/c до 50м/c. Конечные значения характеристик получаются эмпирическим путем и берутся максимально возможные.

Строится таблица расчетных (идеальных) стартовых участков. Величина таблицы (число строчек и столбиков) определяется согласно выбранным статистическим рядам по стартовым скоростям и по времени:

Dt=10с, получили ряд: 10,20,30,…170,180.

Dv=5м/с, получили ряд 5,10,15,…45,50

Далее ведутся вычисления, результаты которых заносятся в таблицу

t₁=10, v₁=5, S=(5·10):2=25(м)

t₁=10, v₂=10, S=(10·10):2=50(м) и т.д., перебирая все 180 вариантов.

t₁₀ =10, v₅ =25, S=(25·10):2=1225(м)

Замечания.

Обобщение. При прохождении старта, берутся реальные показатели v, t, S. Рассчитывается реальный стартовый путь и сравнивается с идеальным показателем соответствующего пути. Например, пусть скорость 40м/с спортсмен достиг за 10с, показав путь 280м. Расчетный путь равен (40·10):2=200(м). Разница составляет 280200=80(м)..Реальное расстояние оказалось большим, но техника старта не соответствует расчетной. технике старта.. Тренер должен решать: хорошо это или плохо.

Превышение расчетного стартового расстояния может быть за счет увеличения скорости за меньший промежуток времени или за счет увеличения времени по набору определенной скорости. Это следует теоретически из зависимости одного компонента действия умножения от изменения другого при постоянном произведении. Зависимость здесь обратно пропорциональная.

Принцип комбинаторных сочетаний основан на том утверждении, что модельные характеристики могут сочетаться между собой разными способами, вариантами. Последовательность появления их может быть различной. Все модельные характеристик должны существовать вне зависимости наличия других характеристик. Это возможно только в ациклических (не циклических) видах. Например, в фехтовании, где одно и тоже движение может повториться несколько раз, вне зависимости от выполнения других движений. В циклических видах одни и тоже движения повторяются не однократно: бег, гребля, велосипед и др.

Принцип комбинаторных сочетаний применим только в ациклических видах. Модели строятся на основе комбинаторных задач: перестановок, размещений, сочетаний. Метод статистического перебора в ациклических видах применяется частично. Применение метода комбинаторных сочетаний требует определенной математической подготовки. табличной и графической иллюстрации. В данном курсе мы не будем его рассматривать, ограничимся лишь приведенными выше замечаниями.

Практические занятия

1. Построение информационных моделей отдельных видов деятельности людей (выполнение бросков спортивных снарядов, работа за пультом управления, вождение машины, записи в тетради и др.)

2. Описание несколькими моделями одного и того действия или явления.

3. Построение одной модели для различных действий или явлений.

4. Построение информационных моделей выполнения арифметических действий.

Контрольные вопросы

1. Приведите различные трактовки понятия "Модель"

2. Может ли быть моделью действия одного человека для другого?

3. Являются ли моделями: характеристика учащегося: схема компьютера, учебное кино, описание действия человека при выполнении некоторых действий, наглядные пособия, применяемые учителем на уроке?

2. Приведите примеры структурных моделей.

3. Что можете сказать о воображаемых моделях?

4. Укажите на некоторые особенности спортивного (технического, строительного, общественного) моделирования

Самостоятельная работа студентов

1. Понятие задачи.

2. Решение задачи с точки зрения моделирования.

3. Привести информационные и математические модели для описания одной и той же ситуации.

Требования к знаниям, умениям, навыкам

Студенты должны понимать роль модели в повседневной жизни. Уметь на интуитивном уровне моделировать ситуации, возникающие под воздействием 1-2 факторов. Понимать роль моделирования при решении конкретных задач. Понимать ситуации, которые можно отнести в задачам.