I. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

 

Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность формальных равенств вида:

(1)

 

где а _ij, b_i R - заданные числа, x _j - неизвестные, 1 £ i £ m, 1 £ j £ n.

 

Матрицы и

 

называются соответственно матрицей системы и расширенной матрицей системы.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел

Х = (с ₁, с ₂,..., с _n), которые при подстановке с _j «x _j (j = 1,..., n) обраща­ют каждое уравнение системы (1) в верное равенство. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, иначе – несовместной. Решить сис­тему – означает найти все ее решения. Две системы называются эквивалент­ными или равносильными, если они имеют одинаковые множества решений. Аналогично, расширенные матрицы эквивалентных систем будем называть эквивалентными.

 

Например, системы

S: 2х₁ + х₂ = 4 S₁: 2х₁ + х₂ = 4 S₂: х₂ = 2

5х₁ - 2х₂ = 1, 9х₁ = 9, х₁ = 1

с расширенными матрицами

являются эквивалентными, так как все они имеют единственное решение

Х = (1, 2).

Элементарными преобразованиями матрицы называются: перестановка местами любых двух строк; умножение строки на любое, отличное от нуля число; прибавление к одной строке матрицы любой другой строки, умноженной на любое число; удаление нулевой строки.

Решение системы методом Гаусса и его модификацией – методом Жорда­на-Гаусса основано на следующем утверждении: матрица, полученная элемен­тарными преобразованиями расширенной матрицы системы эквивалентна ис­ходной матрице, т.е. элементарные преобразования расширенной матрицы сис­темы не изменяют множества решений системы.

Суть обоих методов состоит в том, чтобы при помощи элементарных пре­образований привести расширенную матрицу системы к наиболее простому ви­ду, т.е. к такому виду, когда решение найти достаточно легко. Например, ясно, что систему S₁ c матрицей решить легче, чем исходную систему S с матри­цей , а решение системы S₂ вообще очевидно. Переход от матрицы к мат­рице можно осуществить, например, прибавляя ко второй строке матрицы , первой строки, умноженной на 2. Чтобы из матрицы получить , можно поступить следующим образом: сначала вторую строку умножим на 1/9, а затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на -2.

 

Переменная x_j называется базисной в i – ом уравнении системы (1) если

a_ij = 1 и a_kj = 0 при k ≠ i, k = 1, 2,..., m.

Другими словами, переменная x_j вляется базисной в i – ом уравнении, если коэффициент при ней в этом уравнении равен 1, а в остальных уравне­ниях - 0, т.е. в других уравнениях этой переменной нет.

Говорят, что матрица системы приведена к базисному виду (или имеет базис) если в каждом ее уравнении имеется базисная переменная. Например, матрица системы S не имеет ни одной базисной переменной, матрица имеет базисную переменную х₂ в первом уравнении, а матрица приведена к базисному виду.

Справедливо следующее утверждение: При помощи элементарных преоб­разований расширенную матрицу любой совместной системы можно привести к базисному виду.

Если матрица системы приведена к базисному виду, то переменные, не являющиеся базисными, называются свободными. Например, в матрице все переменные – базисные, свободных нет.

Решение системы, полученное после приравнивания нулю всех свобод­ных переменных, называется базисным.