Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача состоит в том, что по данным прямоугольным координатам начала и конца отрезка прямой определяют дирекционный угол и длину этого отрезка.

Пусть даны координаты точек А и В (рисунок 5.2). необходимо определить длину отрезка АВ – s и величину дирекционного угла α_АВ этого отрезка.

Из прямоугольного треугольника АаВ имеем:

tg α_АВ =

Принимаем:

Ва = ∆ у = у_В – у_А

Аа = ∆ х = х_В – х_А

Получим:

tg α_АВ =

Значение длины отрезка АВ может быть вычислено из прямоугольного треугольника АаВ по теореме Пифагора

s =

При решении обратной задачи для вычисления дирекционного угла пользуются формулой

, причем в результате вычислений будет найден острый угол (румб). Чтобы по румбу определить величину дирекционного угла нужно сначала выяснить, к какой четверти относится этот угол, что зависит от знаков приращений ∆х и ∆у (см. табл.5.1)

 

Примеры решения задач

Пример 1. Пусть даны х_А = 50,0м, у_А = 80,0м, s = 100м, α_АВ = 120˚30'. Необходимо вычислить координаты точки В: х_В и у_В.

Решение. Вычисления выполняют по следующей схеме. Так как дирекционный угол α_АВ больше 90˚, а именно 90˚-180˚, то данный отрезок находится во второй координационной четверти. В расчетах угол α_АВ заменяем на румб r. Для второй четверти румб будет равен

r_AB = 180˚- α_АВ = 180˚-120˚30' = 59˚30':ЮВ

r_AB = 59˚30':ЮВ

Так как отрезок АВ находится во второй четверти, знаки приращений будут

∆х (-); ∆у(+), поэтому формулы для вычисления координат точки В х_В и у_В.:

х_В = х_А - ∆х = х_А – s ∙ cos r_AB

y_В = y_А + ∆y = y_А – s ∙ sin r_AB

х_В = 50 – 100 ∙ cos 59˚30' = 50 – 100 ∙ 0,507538 = - 0,754

y_В = y_А + ∆y = y_А – s ∙ sin 59˚30' = 80 + 100 ∙ 0,861629 = 166,163

Правильность решения задачи можно подтвердить чертежом, выполнив его в масштабе.

 

Пример 2. Пусть даны прямоугольные координаты точек А и В. Необходимо найти дирекционный угол α_АВ и длину линии АВ – s.

х_А = 20,0м, у_А = 30,0м

х_В = - 40,0м, у_В = - 60,0м

Решение. Приращение координат вычислим по формуле:

∆ у = у_В – у_А = - 60 - 30 = -90,0

∆ х = х_В – х_А = - 40 – 20 = - 60,0

Так как знаки приращений отрицательные, то линия лежит в III четверти, где дирекционный угол будет равен:

r_AB = α_АВ - 180˚ => α_АВ = 180+ r_AB

Румб линии r_AB находим по формуле:

tg r_АВ =

По таблице находим значение угла для tg r_АВ =1,5 => r_АВ =56˚19', тогда

α_АВ = 180˚ + 56˚19' = 236˚19'

Длину отрезка АВ находим по формуле:

s_АВ =

 

Задачи для самоконтроля:

1. Определить координаты точки В: х_В и у_{В .}, если длина линии АВ

s_AB = 120м, координаты точки А х_А = - 10,5м, у_А = - 22,0м. дирекционный угол линии АВ α_АВ = 225˚35'.

 

2. Определить длину линии DС s_DC и ее дирекционный угол α_DC, если координаты начальной и конечной точек равны:

х_D = 22,5м, у_D = - 20,0м

х_C = 10,0м, у_C = 30,0м

свои решения подтвердить чертежами в масштабе 1:1000

 

 

ЛЕКЦИЯ №6

УРОК № 11. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ.

Единицы измерения

Измерение - есть процесс сравнения какой-либо величины с другой однородной с ней величиной, принятой за единицу измерения. Например, измерение длины отрезка прямой линии путем последовательного уклады­вания вдоль этой линии мерного прибора есть процесс сравнения двух однородных величин — измеряемой длины отрезка прямой линии с из­вестной длиной другого отрезка прямой, выраженной в единицах измере­ния.

В геодезии за единицу длины обычно принимают метр., Метр (в пере­воде сгреческого значит «мера») — одна из основных единиц Международ­ной системы единиц СИ (Международная система единиц СИ введена в действие с 1 января 1963г. ГОСТом 9867-61). С 1889 г. было принято следующее определение метра: единица длины — метр определяется расстоянием (при 0° С и нор­мальном относительном давлении) между осями двух средних штрихов, нанесенных на платино-иридиевом бруске, хранящемся в Международном бюро мер и весов и служащем прототипом метра, длина которого соответ­ствует одной десятимиллионной части Парижского меридиана (эллипсоид Деламбра).

По штрихам, нанесенным на этом прототипе, можно производить сли­чение других эталонов метра с точностью в пределах от одной до двух десятых микрона.. Однако для научных целей такая точность в наше время является недостаточной. Поэтому XI Генеральная конференция по мерам и весам (1960 г.) утвердила новый естественный и неуничтожаемый эталон метра, выраженный через длину световых волн, и установила новое опре­деление метра:

Метр - длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р₁₀ и 5d₅ атома крипто­на 86.

 

Международной системой единиц (СИ) установлена также единица плоского угла – радиан (рад). Радиан - угол между двумя радиусами круга, вырезающий на окружности дугу, длина которой равна радиусу. Для измерения плоских углов применяют другие, более мелкие едини­цы — градус, минуту, секунду. Один градус представляет собой 1/360 длины окружности, или

 

1 градус (^О) = 2πR/360 = πR/180

 

Поскольку длина радиуса R соответствует радиану (рад), можно написать:

1 градус (^О) = (π/180) рад = 1,75 * 10^-2 рад;

1 минута (') = (π/180*60) рад = 2,91 * 10^-4 рад;

1 секунда (") = (π/180*60*60) рад = 4,85 * 10^-6 рад;

1 радиан (рад)= 57° 17 ' 44 ",8 = 3437 ', 7 = 206 264 ",8.