Тени от точки, линии и плоской фигуры

 

ПАДАЮЩАЯ ТЕНЬ ОТ ТОЧКИ

Представим себе материальную точку А (рис. 74), расположенную в пространстве над плоскостью Н, которая освещается световыми лучами, идущими из бесконечности параллельно заданному направлению l. Точка А задержит один из них и отбросит теневой луч, который пересечет плоскость Н в точке А _Т'. Эта точка и будет являться тенью точки А.

Иными словами, тень точки является следом теневого луча.

Итак, чтобы построить тень, падающую от точки на какую-либо плоскость или поверхность, необходимо через данную точку провести прямую, параллельную направлению лучей света, и определить точку пересечения этой прямой с плоскостью или поверхностью, на которую падает тень.

На рис. 75а в ортогональных проекциях и на рис. 75б в аксонометрии построены тени, падающие на плоскости Н, V и P(n ´ m) от точек А, В и С.

Рис. 74

Рис. 75

Тень от точки А падает на плоскость Н в точке А _Т' (эта точка является горизонтальным следом луча АА _Т).

Тень от точки В падает на плоскость V в точке B _Т '' (эта точка является фронтальным следом луча АВ _Т).

Тень от точки в аксонометрии определяется в результате пересечения луча с его вторичной проекцией.

Тень В _T'' (в аксонометрии) можно построить как точку пересечения луча ВВ _Т с его фронтальной проекцией В''B _T '' или при помощи горизонтальной проекции луча.

Тень от точки С падает на плоскость P (n ´ m) в точке С _TP (С _TP ', С_TP ”), которая определяется в результате пересечения луча СС _T с заданной плоскостью Р при помощи горизонтально-проецирующей плоскости Q.

 

ПАДАЮЩАЯ ТЕНЬ ОТ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Тень, падающая от прямой линии, состоит из падающих теней от всех ее точек. Лучи, проходящие через все точки прямой, образуют лучевую плоскость, а тень от прямой линии есть линия пересечения лучевой плоскости с плоскостью или поверхностью, на которую падает тень (то есть след лучевой плоскости).

Тенью, падающей от прямой на плоскость, является прямая линия, поэтому для ее построения достаточно построить тени от двух точек, принадлежащих этой прямой (рис. 76).

Рис. 76

На рис. 77 построена тень на плоскости проекций от отрезка АВ на комплексном чертеже.

Рис. 77

Тени от точек А и B в этом примере падают на одну плоскость проекций V, поэтому для построения тени отрезка АВ достаточно соединить между собой полученные точки А _T'' и В _T'' прямой линией.

ПРИМЕР. Построить падающую тень на H и V от отрезка прямой СD (рис. 78, 79).

Рис. 78 Рис. 79

Решение. Тень от отрезка СD падает на две плоскости проекций и представляет собой ломаную линию C _T'' K _X D _T'. Точку перелома К _Xможно определить двумя способами:

1) при помощи мнимой тени (рис. 78, 79).

Для этого строят тень отрезка на одну из плоскостей проекций, предполагая, что второй не существует. На рисунке сначала построена тень отрезка на плоскость Н (С _T' D _T'). Построенная тень пересекает ось ОХ в точке К _X, в этой точке тень переломится и с одной плоскости перейдет на другую (в точку С _T'').

2) при помощи тени от промежуточной точки (рис. 80).

Рис. 80

На чертеже точка перелома К _X определяется при помощи тени от произвольной промежуточной точки Е (Е _T'').

Тени от прямых, находящихся в частных положениях

ПРИМЕР. В ортогональных проекциях заданы отрезки частного положения АВ, СD и EF. Построить тени, падающие от этих отрезков на плоскости проекций H и V (рис. 81).

Рис. 81

Решение.

1. Отрезок АВ занимает вертикальное положение, поэтому лучи, проходящие через все его точки, образуют вертикальную (горизонтально-проецирующую) лучевую плоскость a, которая пересечет плоскость Н по линии a_H, а плоскость V — по вертикальной прямой m = m''. Следовательно, тень от вертикальной прямой линии на горизонтальной плоскости совпадает с горизонтальной проекцией (следом) лучевой плоскости.

Но, так как горизонтальная проекция лучевой плоскости параллельна горизонтальной проекции луча света, то для построения тени на горизонтальной плоскости проекций (от вертикальной прямой) достаточно через горизонтальную проекцию прямой (точку) провести горизонтальную проекцию луча света.

2. Отрезок CD перпендикулярен плоскости V, поэтому проходящая через него лучевая плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью.

В ортогональных проекциях тень от прямой СD на плоскости V совпадает с проекцией лучевой плоскости.

3. Отрезок EF параллелен плоскости V. Его тень E _T'' F _T'' параллельна и равна данному отрезку.

 

В ЫВОДЫ:

1. Тень от прямой, перпендикулярной к плоскости, совпадает с ортогональной проекцией светового луча на эту плоскость.

2. Тень, падающая на плоскость от отрезка прямой, параллельной этой плоскости, параллельна и равна отрезку прямой. На комплексном чертеже проекция тени равна и параллельна проекции отрезка.

 

ТЕНЬ ОТ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

(непрозрачной пластинки)

Чтобы построить падающую тень от плоской фигуры, ограниченной многоугольником, достаточно построить тени, падающие от всех сторон многоугольника.

На рисунке 82 построена тень, падающая от треугольника АВС на плоскости проекций H и V. Тень от вершины А падает на плоскость V, а от вершины В и вершины С — на плоскость Н. Следовательно, тень от стороны ВС падает на одну плоскость Н и представляет прямую линию, а тени от сторон АВ и АС падают на две плоскости и представляют ломаные линии.

Рис. 82

Падающие тени от сторон АВ и АС можно построить при помощи промежуточных точек (как на чертеже 81) или при помощи мнимой тени (А _T'), падающей от точки А на заднюю полуплоскость Н. Получив треугольник А _TH В _TH С _TH, определяем на оси ОХ точки перелома 1 и 2 падающей тени и соединяем их с действительной тенью А _TV от точки А на плоскости V. Сторона плоской фигуры, обращенная к теневому столбу, находится в тени, то есть у плоских фигур следует различать освещенную и неосвещенную стороны. Иначе говоря, плоская фигура всегда имеет собственную тень.

Для выяснения освещенности сторон плоскости треугольника применяем следующий прием: обходя на исследуемой проекции периметр треугольника по часовой стрелке, замечаем порядок букв, обозначающих вершины, и сопоставляем с порядком букв, который получается при обходе по часовой стрелке контура падающей тени. Совпадение порядка букв обозначает, что на данной проекции видима освещенная сторона треугольника, несовпадение — что видима неосвещенная сторона плоскости.

На рисунке контур падающей тени при его обходе по часовой стрелке дает порядок букв А _T'' С _T'' В _T''. Такой же порядок (А '' С '' В '') получается на фронтальной проекции. Следовательно, на V видима освещенная сторона. Горизонтальная проекция имеет обратный порядок букв (А ' В ' С '). Это значит, что на горизонтальной проекции к нам обращена неосвещенная сторона плоскости треугольника (сторона, находящаяся в собственной тени).

Этим же приемом можно пользоваться в аксонометрии (рис. 83).

Рис. 83

.

ТЕНЬ ОТ ДИСКА

(окружности)

Если плоская фигура, бросающая тень, ограничена кривой линией, то лучи, проходящие через точки этой кривой, образуют цилиндрическую лучевую поверхность. В пересечении с плоскостью, на которую падает тень, эта поверхность дает контур падающей тени данной фигуры.

Если плоскость фигуры параллельна плоскости, на которую ю падает тень, то тень равна самой фигуре (так как равны параллельные между собой основания цилиндра).

На рис. 84 показано построение тени от круга, параллельного плоскости H, на плоскость H. Контуром тени является окружность тог же радиуса. Для построения тени достаточно найти тень от центра С.

Рис. 84

Для построения тени, падающей от кривой линии на произвольно
расположенную плоскость, можно применить один из двух способов.

1. На кривой линии намечается достаточно большое число точек, от которых строится падающая тень. Полученные точки (падающей тени) соединяются между собой плавной кривой линией.

2. Около кривой линии описывается многоугольник, строится падающая тень от многоугольника и в нее вписывается тень кривой линии.

На рис. 85 для построения падающей тени от круга, параллельного плоскости V, на плоскость Н использован описанный около него квадрат АBCD. Сначала строится падающая тень от сторон квадрата, его диагоналей и линий, проходящих через центр С параллельно сторонам квадрата, а затем вписывается в полученный параллелограмм кривая (эллипс). На рисунке эллипс проходит через восемь точек, принадлежащих одновременно падающим теням от окружности, сторон и диагоналей квадрата.

Если тень от кривой линии падает на две пересекающиеся плоскости, то она будет иметь излом на линии пересечения плоскостей.

Рис. 85