Тема 2.3. Основы математической статистики

Статистика, строгая муза,
Ты реешь над каждой судьбой.
Никто для тебя не обуза,
Никто не обижен тобой.

В. Шефнер [13]

Математическая (или теоретическая) статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей, но решает в каком-то смысле обратные задачи. В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей – свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).

Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некие результаты, по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

При этом возникают, например, следующие вопросы: если мы наблюдаем одну случайную величину – как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении? Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т.е. имеем набор значений нескольких случайных величин,– что можно сказать об их зависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость?

Часто бывает возможно высказать некие предположения о распределении, спрятанном в «черном ящике», или о его свойствах. В этом случае по опытным данным требуется подтвердить или опровергнуть эти предположения («гипотезы»). При этом надо помнить, что ответ «да» или «нет» может быть дан лишь с определенной степенью достоверности, и чем дольше мы можем продолжать эксперимент, тем точнее могут быть выводы. Наиболее благоприятной для исследования оказывается ситуация, когда можно уверенно утверждать о некоторых свойствах наблюдаемого эксперимента. Примером такого эксперимента может служить социологический опрос, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты.

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков.

Например, физическая подготовленность мальчиков 10 лет г. Уссурийска; пловцы – мастера спорта России.

Совокупность из всех объектов, объединенных этими признаками, называется генеральной (или общий ряд данных). Задачей исследования является изучение признаков генеральной совокупности, которые определяются влиянием некоторых случайных факторов. Например, изучение физической подготовленности мальчиков 10 лет г. Уссурийска.

Для решения задач исследования проводится эксперимент (измерение, тестирование, анкетирование), в результате которого получают значение некоторой случайной величины (результаты тестирования, количество баллов). Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то такое обследование называют сплошным.

На практике обычно применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают n элементов. Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. Исследователь изучает и анализирует выборочную совокупность и на основании полученных показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности.

Допустим, из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n, измерена некоторая величина Х, в результате чего получен ряд значений х ₁, х ₂ ,... х_n. Этот ряд называется простым статистическим рядом.

Пример: измерена масса тела 10 девочек 6 лет. Полученные данные образуют простой статистический ряд:

24, 22, 23, 28, 24, 23, 25, 27, 25, 25.

Отдельные значения статистического ряда называются вариантами. Если варианта х_i появилась m раз, то число m называют частотой, а ее отношение к объему выборки m/n – относительной частотой.

Последовательность вариант, записанная в возрастающем (убывающем) порядке, называется ранжированным рядом.

Пример: ранжированный ряд:

22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 25, 27, 28.

Таблица, в первой строке которой записаны все значения величины (варианты), во второй – соответствующие им частоты, называется таблицей распределения.

Пример: таблицы распределения:

Х
m

Графическим изображением таблицы распределения является полигон.

Для его построения на оси О_Х откладывают значения вариант, на оси О_У – соответствующие им частоты. Точки с координатами (х_i; m_i) соединяют отрезками, полученная ломаная линия называется полигоном частот.

В том случае, если выборка представлена большим количеством различных значений непрерывной случайной величины, то группировку данных проводят в виде интервального вариационного ряда. Для этого диапазон варьирования признака разбивают на несколько (5-10) равных интервалов и указывают количество вариант, попавших в каждый интервал.

Графическим изображением интервального вариационного ряда является гистограмма. Для ее построения на оси О_Х откладывают интервалы шириной h, на каждом интервале строят прямоугольник высотой m/h. Величина m/h называется плотностью частоты. Гистограмма является эмпирическим аналогом графика дифференциальной функции распределения.

Есть несколько числовых характеристик выборки:

1) Размах выборки – это разница между минимальной и максимальной вариантой. На графике – это длина области определения полигона. На графике размах равен 28-22=6.

	Размах

 

2) Мода выборки – это наиболее часто встречающаяся ее варианта. На графике – это наивысшая точка или наивысшие точки, так как мода может быть и не одна. На графике мода равна 25.

Мода

 

3) Среднее значение – это такое значение, которое усредняет все различные результаты, заменяя полную, но объемную информацию одним-единственным числом. Есть три способа его нахождения.

а. Сложить все результаты, входящие в выборку и полученную сумму разделить на количество всех результатов (стандартный способ). Например: (24+22+23+28+24+23+25+27+25+25):10=24,6.

б. Каждую варианту умножить на ее кратность, сложить все полученные результаты и поделить найденную сумму на сумму всех кратностей – объем выборки (самый популярный в статистике). Например: (22·1+23·2+24·2+25·3+27·1+28·1):10=24,6.

в. Каждую варианту умножить на ее частоту, затем сложить все полученные произведения (похоже на нахождение математического ожидания). Например: 22·0,1+23·0,2+24·0,2+25·0,3+27·0,1+28·0,1=24,6.

4) Дисперсия – оценивает степень разброса, отклонения от среднего значения, неоднородность группы. Есть два способа ее нахождения.

а. Из значения каждой варианты вычесть среднее значение, полученные разности возвести в квадрат и умножить на соответствующее значение кратности, затем сложить все полученные произведения и результат поделить на объем выборки. Например:

(22²·1+23²·2+24²·2+25²·3+27²·1+28²·1):10-24,6²=

=(484+1058+1152+1875+729+784):10-605,16=608,2-605,16=3,04

б. Квадрат значений каждой варианты умножить на ее кратность, сложить все полученные результаты и поделить найденную сумму на объем выборки, затем из получившегося числа вычесть квадрат среднего значения. Например:

(22²·0,1+23²·0,2+24²·0,2+25²·0,3+27²·0,1+28²·0,1)-24,6²=

=(48,4+105,8+115,2+187,5+72,9+78,4)-605,16=608,2-605,16=3,04

5) Среднее квадратичное отклонение – также оценивает степень разброса, отклонение от среднего значения и равно корню квадратному из дисперсии. Например: =1,74. [1]

 

Задачи

94. Абитуриенты на четырех вступительных экзаменах набрали в сумме такие количества баллов: 17, 12, 19, 16, 18, 17, 13, 13, 19, 20, 18, 13, 12, 20, 20, 13, 17, 17, 16, 19. Составьте ранжированный ряд данных.

95. Составьте таблицу распределения для выборки из задания 1.

96. Выписали месяцы рождения группы 2сб. Получился такой ряд: 3, 12, 11, 7, 10, 7, 11, 5, 12, 3, 3, 3, 12, 11, 10, 10, 7, 7, 12, 11. Составьте таблицу распределения.

97. Изобразите по данным из задания 1 полигон. Укажите моду и размах.

98. Изобразите по данным из задания 2 гистограмму.

99. В колледже культуры провели опрос: «Какой шоколадный батончик вы больше любите?» Ответы были следующие: 10 человек ответили «Пикник», 8 человек – «Твикс», 12 человек – «Сникерс», 5 человек «Марс», 9 человек «Баунти», 3 человек – «Милки Вей», 1 человек – «Несквик». Изобразите данные опроса графически.

100. Класс написал контрольную работу со следующими результатами: две двойки, четыре тройки, восемь четверок и шесть пятерок. Найти средний балл, разброс класса в оценках и сделать вывод о том, как в среднем класс справился с работой?

101. Для украшения зала к празднику «День знаний» организаторы купили шарики по разной цене: по 2 рубля 30 шариков, по 3 рубля – 30, по 4 рубля – 20, по 5 рублей – 20. Найдите среднюю цену за один шарик и разброс в цене. Изобразите данные с помощью полигона, укажите размах и моду.

102. В группе у двух человек по 9 грамот, у трех человек по 8 грамот, у четырех человек по 5 грамот и у одного человека 2 грамоты. Найти среднее количество грамот на группу, и неоднородность распределения в группе наград.

103. Оценки по дисциплине «Народный танец» за 2 семестр в группе хореографов таковы: четыре пятерки, шесть четверок, семь троек. Сделайте вывод о среднем балле и неоднородности группы.

104. В одном из магазинов перед праздником День студента была акция для студентов: возьми мороженного столько, сколько захочешь! Один из представителей торговой марки наблюдал за покупателями: сколько же штук мороженного возьмет каждый из участников акции. Результаты были такими: 1 мороженное взяли 20 человек, 2 мороженных – 30 человек, 3 мороженных – 20 человек, 4 мороженных – 15 человек, 5 мороженных 10 человек, 6 мороженных – 5 человек. Сколько мороженных в среднем взял каждый из студентов и каков разброс в их количестве?

105. Один класс написал контрольную работу со следующими результатами: две двойки, четыре тройки, восемь четверок и шесть пятерок. Другой класс написал эту же контрольную работу с такими результатами: шесть двоек, три тройки, четыре четверки, семь пятерок. Какой из классов в среднем лучше справился с работой, в каком ученики однороднее?

106. Сравните результаты итоговой аттестации двух групп:

1 группа					2 группа

 

 

Сделайте вывод по каждой группе, изобразите сравнительные данные аттестации с помощью гистограммы.

107. На мероприятии «День здоровья» каждый из участников команды делал по одному выстрелу по мишени. Р

Результаты таковы:

Группа 1ХФ

Количество очков
Количество человек

Группа 1СБ

Количество очков
Количество человек

Какая из групп показала в среднем лучше результат, а какая из групп оказалась однороднее? Покажите данные на полигоне, для каждой группы указав моду и размах.

 

Ответы и указания

Тема 1.1

1. Мы можем продать только то, что мы имеем, а чужое мы не имеем.

2. Чтобы что-то потерять, нужно сначала это иметь.

4. Не только существительные меняют падежные окончания.

5. Действительно, отрезок, который должен пробежать Ахилл, чтобы догнать черепаху (отрезок достижения), может быть разложен на бесконечное количество отрезков, но он все-таки конечен. И ошибка в софизме Зенона заключается в принятии посылки, что сумма бесконечного количества слагаемых имеет бесконечное значение.

6. Умышленно ошибочное рассуждение строится с использованием нетождественных, но внешне сходных понятий.

7. В данном софизме незаметное возникновение ошибочной посылки происходит из-за потери контроля за категорией времени причастия: как только сидящий встал, его больше уже нельзя называть сидящим, так как он при этом немедленно превращается в сидевшего.

9. Постепенное, незаметное, чисто количественное изменение какого-то объекта не может продолжаться бесконечно. В определенный момент оно достигает своего предела, происходит резкое качественное изменение, и объект переходит в другое качество.

12. В данном софизме применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно.

13. Прочтите внимательно стихотворение, подсчитайте, на самом ли деле выполнено условие.

16. Софизм построен на смешении двух моментов в рассуждении Эватла: одни и тот же договор рассматривается им в разных отношениях. В первом случае Эватл выступает на суде в качестве юриста, который проигрывает свой первый процесс. А во втором случае он уже ответчик, которого суд оправдал

17. В данном утверждении в качестве множимого сначала выступают две половины от целого отрезка, а потом две четверти от того же отрезка, а потом две четверти от того же отрезка. Такая иллюстрация является ложной, так как в результате вопрос об умножении двух единиц на три заменен вопросом о числе отрезков.

18. Ошибка состоит в том, что занимаемую единицу возводили в ранг десятка.

23. Неверно вынесен общий множитель за скобки.

24. Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

25. Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

27. Мы не можем делить на (х-а), так как х-а= 0.

30. В выражении b (b-a-c) = -c (b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c= 0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Тема 1.2

32. Высказываниями будут предложения под номерами 1, 5, 12, 19, 20, 22, 25, 27, 29, 30, 31, 32.

34. а) конъюнкция; б) отрицание и конъюнкция; в) конъюнкция; г)дизъюнкция; д) импликация; е) эквиваленция; ж) импликация; з)дизъюнкция; и) эквиваленция; к) отрицание и конъюнкция.

36. 1)Если горя бояться, то счастья не видать. 2) Если дальше в лес зайти, то больше дров можно найти. 3) Если волков бояться, то в лес не ходить. 4) Если бы несчастье не помогло, то не было бы счастья. 5) Если нет худа, то нет добра.

39. а) Не верно, что некоторые студенты получают стипендию. б) Киров – не столица России. в) Белые медведи не живут в Арктике. г) Неверно, что 2×2=4 д) В английском алфавите не 40 букв. е) В году не 12 месяцев. ж) Все металлы не проводят электричество. з) Не каждый из студентов первого курса получает стипендию. и) Петров И.И. – студент МГУ. к) Япония – капиталистическая страна.

40. а) нет; б) да; в) да; г) нет; д) да;) е) да; ж) нет; з) нет; и) нет; к) нет.

41. а) Все студенты получают стипендию. ж) Некоторые металлы проводят электричество. з) Все студенты первого курса получает стипендию.

44. а) ложно; б) ложно; в) истинно; г) истинно; д) ложно; е) истинно; ж) ложно; з) ложно; и) ложно; к) ложно; л) истинно; м) ложно; н) ложно; о) истинно; п) истинно; р) истинно.

46. а) верно; б) неверно; в) верно; г) неверно; д) верно; е) верно.

Тема 1.3

47. б), д), ж) – предикаты.

48. а) квантор существования; б) квантор существования; в) квантор существования; г) квантор существования; д) квантор существования; е) квантор всеобщности; ж) квантор всеобщности; з) квантор существования; и) квантор всеобщности; к) квантор существования; л) квантор всеобщности; м) квантор всеобщности; н) квантор существования; о) квантор существования; п) квантор существования.

50. б) В городе Киров ездят трамваи. В любом городе России ездят трамваи. Есть такие города в России, в которых ездят трамваи.

52. а) Некоторые студенты 2-го курса получает стипендию. б) Некоторые знаменитые женщины – математики. в) Все слова в русском языке пишутся и читаются по-разному. г) Каждый студент группы 2ТП выступал на сцене. д) Существуют такие книги в библиотеке, которые отмечены штампами на 3 странице. е) Есть такой символ в условии задачи, который важен для ее решения.

Тема 1.4

54. а) А – истинно; б) В – ложно; в) С – истинно; г) D – ложно; д) Е – ложно.

55. а) А – ложно; б) В – истинно; в) С – истинно; г) D – истинно; д) Е – ложно; е) D – истинно; ж) F – ложно; з) J – ложно; и) К – ложно.

56. а) С – истинно; б) С – ложно; в) С – истинно; г) С – ложно; д) С – ложно; е) С – истинно.

57. б) D – истинно; в) D – истинно; г) D – истинно; д) D – истинно; е) D – ложно.

58. а) А – ложно, В – истинно; б) А – ложно, В – истинно; в) А – истинно, В – истинно; г) А – ложно, В – ложно; д) А – ложно, В – истинно; е) А – ложно, В – ложно; ж) А – истинно, В – истинно; з) А – ложно, В – истинно.

59. а) истинно; б) истинно; в) истинно; г) истинно; д) истинно; е) истинно.

60. а) Андрей болен. б) Неверно, что у Наташи хорошее настроение. в) Если девушка Паше понравилась, то он дарит ей лилии. г) Рассуждения верны. д) Андрей не готовился дома самостоятельно, если пропускал лекции. е) Неверно, что у Маши сейчас репетиция. ж) Света не сделала домашнее задание по географии. е) Юля в гостях.

Тема 2.1

61. а) случайное событие; б) случайное событие; в) достоверное событие; г) случайное событие; д) случайное событие; е) невозможное событие.

62. а) случайное событие; б) случайное событие; в) случайное событие; г) случайное событие; д) невозможное событие; е) невозможное событие; ж) невозможное событие; з) достоверное событие; и) невозможное событие; к) невозможное событие; л) случайное событие; м) случайное событие; н) случайное событие; о) невозможное событие; п) случайное событие; р) достоверное событие; с) случайное событие; т) невозможное событие; у) случайное событие; ф) достоверное событие.

64. При 0 или 1 всех-всех-всх событие будет достоверным, при остальных значениях – случайным.

65. А – невозможное событие; В – невозможное событие; С – достоверное событие; D – случайное событие.

66. А – случайное событие; В – невозможное событие; С – случайное событие; D – случайное событие; Е – случайное событие, F – случайное событие.

68. а) 1/9; б) 2/9; в) 8/9.

69. 2/3.

70. 4/7.

71. 3/4.

72. 2/11.

73. 5/12.

74. а) 1/10; б) 9/10.

75. 99/100; 1/5.

76. 1/105.

77. а) 5/36; б) 1/18; в) 1/18.

78. 3/4.

79. 5/6; 1/6.

80. 1/5.

81. 15/148.

82. 1/4; 3/10.

83. 1/17.

84. 1/15.

85. а) 4/9; б) 0; в) 1.

Тема 2.2

87. 0,25.

89. М(Х) = - 0,25; D(Х) = 0,6875.

90. М(Х) = 6,4; D(Х) = 4,84.

91. М(Х) = 1,6; D(Х) = 2,24.

92. Двое не справились с контрольной работой; средний балл 4,05; разброс в оценках 1,1475.

93. Три человека сдали зачет на «5»; средний балл 4,1; разброс в оценках 0,49.

Тема 2.3

100. Средний балл 3,9; разброс в оценках 0,89; класс написал контрольную работу 3,9±0,94.

101. Средняя цена 3 руб. 30 коп.; разброс в цене 1 руб. 21 коп.; размах 3 рубля; мода 2 и 3 рубля.

102. В среднее количество грамот на человека 6,4; разброс в количестве наград 4,84.

103. 3,8 ± 0,89.

104. В среднем каждый студент взял 2,8 штук мороженного; разброс в количестве 2,06.

105. В среднем первый класс справилась лучше второго (3,9 > 3,6) и первый класс однороднее второго (0,89 < 1,54).

107. В среднем лучше показала результаты группа 1 ХФ (6,6 > 5,6) и эта группе более однородна (5,04 < 13,64). Размах для обеих групп равен 9; мода группы 1ХФ – 9, мода для группы 1 СБ – 1.

 

Список литературы

1. Грес, П. В. Математика для гуманитариев: учеб пособие [Текст] / П.В. Грес. – М.: Юрайт, 2000. – 112 с.

2. Калинин, В. В. Математика: Домашняя общеобразовательная библиотека [Текст] / В.В.Калинин. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2000. – 256 с.

3. Ивин, А. А. Логика: пособие для учащихся [Текст] / А.А. Ивин. – М.: Просвещение, 1996. – 142 с.

4. Суворов, О. В. Основы логики (учебное пособие) [Текст] / О.В. Суворов.– М.: Аквариум, 1997. – 128 с.

5. Ончукова, Л. В. Введение в логику. Логические операции: учебное пособие для 5 класса [Текст] / Л.В. Ончукова. – 2-е изд. – Киров: Издательство ВятГГУ, 2004. – 88 с.

6. Игошин, В. И. Задачник-практикум по математической логике: учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. инс-тов [Текст] / В.И. Игошин. – М.: Просвещение, 1986. – 159 с.

7. Мордкович, А. Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: доп. параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеоразоват. Учреждений [Текст] / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2003. – 112 с.

8. Бунимович, Е. А. Вероятность и статистика. 5-9 к.: пособие для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев – М.: Дрофа, 2002. – 160 с.

9. Пехлецкий, И. Д. Математика: учебник [Текст] / И.Д. Пехлецкий. – 2 изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 304 с.

10. Филимонова, Е. В. Математика: учеб. пособие для средних специальных учебных заведений [Текст] / Е.В. Филимоова. – изд-е 2-е, доп. и перераб. – Ростов н/Д: Феникс, 2004. – 415 с.

11. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов [Текст] / В.Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высш.шк., 2004. – 479 с.

12. Садекова, К. Софизмы [Электронный ресурс] // Неофициальный сайт. –Режим доступа: http://www.sofizmy.blogspot.com.

13. Citaty: афоризмы и цитаты [Электронный ресурс] // Неофициальный сайт. – Режим доступа: http://citaty.info/tema

14. Ивин, А. А. Логика: учебик для гуманитарных факультетов [Текст] / А.А. Ивин. – М.: ФАИР-ПРЕСС, 2002. – 320 с.