Тема 2. 2. Характеристики законов распределения

Знать законы – значит, воспринять не их слова, но их содержание и значение.

Юстиниан

Количественная характеристика испытания состоит в определении значений некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании (например, число подтягиваний на перекладине или время на беговой дистанции). В силу действия большого числа неконтролируемых факторов эти величины могут принимать различные значения в результате испытания. Причем до испытания невозможно предсказать значение величины, поэтому она называется случайной величиной.

Пример. Монетку подкинули 2 раза. Величина Х: «Число выпавших орлов» может принимать одно из трех значений: 0, 1 или 2.

Законом распределения случайной величины называется заданное соответствие между значением случайной величины и вероятностями принять эти значения.

В общем виде закон распределения представляется рядом распределения и выглядит так:

Х	х1	х2	…	хn
Р	p1	p2	…	pn

Для данного примера с монеткой ряд распределения будет выглядеть следующим образом:

Х
Р	0,25	0,5	0,25

Заметим, что сумма вероятностей равна 1. Это будет всегда выполняться.

По этой табличке мы можем решить не только задачу № 78, но и легко сказать, какова вероятность того, что при бросании монетки орел не выпадет вообще, какова вероятность того, что орел выпадет один раз, какова вероятность того, что орел выпадет 2 раза и др.

Ряд распределения дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Но часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться числовыми характеристиками, такие как математическое ожидание и дисперсия.

1. Математическое ожидание (обозначается М (Х))

Математическим ожиданием (средним значением или средним арифметическим) случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности:

Для выше упомянутого примера с монеткой математическое ожидание равно:

М (Х)=0×0,25+1×0,5+2×0,25=0+0,5+0,5= 1

2. Дисперсия (обозначается D (Х))

Дисперсия (рассеивание) случайной величины характеризует разброс возможных ее значений относительно математического ожидания и определяется по формуле:

Дисперсия для примера с монеткой равна:

D(X)= (0²×0,25+1²×0,5+2²×0,25)-(1)²=(0+0,5+1)-1=1,5-1= 0,5

Если имеется случайная величина Х с таким рядом распределения:

Х	х 1	х 2	…	хn
Р	p 1	p 2	…	pn

Тогда случайная величина С×Х будет иметь такой ряд распределения:

СХ	Сх 1	Сх 2	…	Схn
Р	p 1	p 2	…	pn

А случайная величина X^m имеет такой ряд распределения:

Х^m	х 1 ^m	х 2 ^m	…	хn^m
Р	p 1	p 2	…	pn

Задачи

87. Дляслучайной величины Х задан такой ряд распределения:

Х	-1
Р	0,5	0,25	?

Что должно стоять вместо знака вопроса? Найдите ряд распределения для величины Х ².

88. Даны две случайные величины Х и Y с их рядами распределения:

Х					Y	-2	-1
Р	0,1	0,5	?		Р	0,2	0,3	0,4	?

Найти ряд распределения для случайной величины 2 Х и Y ²

89. У случайной величины Х такой ряд распределения:

Х	-1
Р	0,5	0,25	0,25

Найдите основные числовые характеристики для данной случайной величины.

90. Дан ряд распределения случайной величины Х:

Х
Р	0,1	0,4	0,3	?

Найдите ее основные числовые характеристики.

91. Дан ряд распределения случайной величины Х:

Х	-1
Р	0,1	0,4	0,3	?

Найдите основные числовые характеристики случайной величины 2 Х ².

92. Класс из 20 человек написал контрольную работу. Из них получили 10 пятерок, 3 четверки, 5 троек. Сколько человек не справились с контрольной работой, какой средний балл оценок и каков разброс в оценках?

93. Группа из 10 человек написала зачетную работу со следующими результатами: две тройки, пять четверок. Сколько человек написали зачетную работу на пять, если известно, что все зачет сдали, какой средний балл оценок и каков разброс оценок?