Тема 1.3. Неопределенные высказывания. Кванторы

Неизвестность – самая мучительная из всех пыток.

Мюссе Луи Шарль

Функция Р (х) называется неопределенным высказыванием или предикатом, если любому допустимому значению предметных переменных из области определения она сопоставляет одно из значений истинны или лжи.

Квантор(от лат. quantum – сколько) – логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате ее применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа «все», «каждый», «некоторый», «существует», «имеется», «любой», «всякий», «единственный», «несколько», «бесконечно много», «конечное число», а также все количественные числительные.

Квантор всеобщности. Под выражением (читается – для любого (каждого) х Р от х) понимается высказывание, которое истинно для любого элемента из множества, над которыми он задан. Это высказывание может быть как истинным, так и ложным. [3]

Кванторы всеобщности в речи создают определенные ограничения, так как утверждают, что «правило исключений не имеет». В языке они выражаются словами: все, всегда, постоянно, каждый, никто, ничто, никогда и т.п.

- Все выступавшие смеялись.
- Никто не обращал на него внимания.
- Она постоянно удивляется.
- Иван Петрович никогда не опаздывал.

При этом квантор всеобщности может принимать значение как значение «для всех/всего» (все, всегда, вечно, везде), так и значение «ни для кого/чего» (никогда, нигде, никто, ничего).

Квантор существования. Под выражением (читается – существует (есть) такое х, что Р от х) понимается высказывание, которое истинно, когда свойством Р обладает хотя бы один элемент из множества М, над которым задан предикат Р (х). Это высказывание может быть как истинным, так и ложным.

Кванторы существования сообщают, что «множество непустое», что какое-то явление или вещь существует, при этом придавая речи оттенок неопределенности. В речи будут выражаться следующими словами: кое-кто, кое-что, какой-то, несколько, некоторый, иногда, однажды, бывает, случается и т.д.

- У нас что-то произошло.
- У кого-то нет еды.
- Мужчины бывают непоследовательны.
- Иногда Иванов заходил к соседу сверху.

С грамматической точки зрения кванторы существования могут быть выражены:

· местоимением: кто-то, что-то, какой-то, чей-то, кое-кто, кое-что, кое-какой, что-либо;

· глаголом: бывает, случается, происходит;

· наречием: изредка, иногда;

· прилагательным: редкий, возможный, вероятный;

· числительным: одни, много, немного, мало, немало, несколько;

· причастием: случающийся, происходящий, бывающий.

Как вы видите, кванторов существования в речи намного больше, чем кванторов общности.

Задачи

47. Выберите из ниже предложенных предложений предикаты:

а) В некотором городе есть кремль.

б) Х – четное число, где Х – множество натуральных чисел от 1 до 10.

в) 2+ Y = 4.

г) Все дети любят конфеты.

д) Света сестра Х, где Х – студент группы 2 курса.

е) A брат B.

ж) Х = 4, ХÎ N.

з) В – целое число.

48. Какие кванторы задействованы в построении следующих предложений:

а) Не все животные живут в лесу.

б) Некоторые студенты живут в общежитии.

в) Не каждый прохожий может ответить на вопрос «который час».

г) Большинство мужчин являются кормильцами в семье.

д) Какие-то студенты получают повышенную стипендию.

е) Хоть кто из взрослых людей сможет проехать на самокате.

ж) Ни одна из компаний не поддержала торги на бирже.

з) Две трети группы ходили в поход.

и) Все люди работают.

к) Многие люди имеют высшее образование.

л) Никто из группы 2Б не пришел вчера на собрание.

м) Любое натуральное число четно.

н) Есть в нашем колледже такие студенты, которые отлично учатся.

о) Хотя бы у одного студента группы специализации «Фотовидеотворчество» есть фотоаппарат.

п) Кто-то вчера из студентов проспал уроки.

49. Придумайте по 5 высказываний с квантором существования и с квантором всеобщности, выражая их различными словами.

50. Из ниже предложенных предикатов получите высказывания несколькими способами:

а) А – «Х – нечестное число», Х Î{1,2,3,4,5}.

б) В – «В городе Х ездят трамваи», Х – множество городов России.

в) С – «По реке Х плавают теплоходы», где Х – реки Кировской области.

г) D – «Студент Х учится на 2 курсе», где Х – студенты Кировского областного колледж культуры.

д) Е – «В кабинете Х есть компьютер», где Х - кабинеты Кировского областного колледж культуры.

е) F – «Х – положительное число», где Х Î{-2, -1, 1, 2}.

ж) J – «Студент Х живет в общежитии», где Х – студенты 2-го курса Кировского областного колледж культуры.

г) К – «Студент Х живет в общежитии», где Х – множество студентов Кировского областного колледж культуры.

д) L – «Студент Х учится в одной группе со студенткой Y», где Х –множество юношей Кировского областного колледж культуры и Y – множество девушек Кировского областного колледж культуры.

51. Постройте отрицания высказываний с кванторами, которые у вас получились в задании 2.

52. Постройте отрицания ниже приведенных высказываний:

а) Каждый студент 2-го курса получает стипендию.

б) Все знаменитые женщины – математики.

в) Есть такие слова в русском языке, которые пишутся и читаются по-разному.

г) Хотя бы один студент группы 2ТП выступал на сцене.

д) Все книги в библиотеке отмечены штампами на 3 странице.

е) Любой символ в условии задачи важен для ее решения.

 

Тема 1.4. Логические задачи

Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства.

А. Пуанкаре

Задачи

53. Запишите высказывания, равносильные данным предложениям с помощью букв и операций над высказываниями:

а) Сегодня шел дождь и снег.

б) Погода была солнечной, и температура повысилась до 20 градусов.

в) Я езжу домой на автобусе или троллейбусе.

г) Если прозвенел звонок, то урок окончен.

д) Треугольник называется равнобедренным тогда и только тогда, когда две его стороны равны.

е) Если не решать задачи, то не напишешь контрольную работу по математике на 5.

ж) Неверно, что ковбой Билл встретил живого динозавра или знакомого инопланетянина.

з) Неверно, что папа купил в магазине “Инструмент” набор кастрюль или живого слона.

и) Неверно, что кошки не пьют молоко и не едят рыбу.

к) Киров – столица России тогда и только тогда, когда Анастасия Волочкова – не балерина.

л) Два треугольника равны тогда и только тогда, когда все их стороны или углы равны между собой.

м) Если алгоритм записан на языке, а язык понятен исполнителю, то алгоритм превращается в программу.

н) Если у регулировщика руки вытянуты в стороны или опущены, то со стороны спины движение всем запрещено.

о) Если внимательно слушать преподавателя на занятии и выполнять домашнее задание, то знания и оценка по предмету будет хорошие.

п) Если у рассматриваемого транспортного средства ровно 2 колеса и есть двигатель, то рассматриваемое транспортное средство – мопед или мотоцикл.

54. Определите значения истинности высказываний А, В, С, D, Е если:

а) – истинное высказывание.

б) – ложное высказывание.

в) – истинное высказывание.

г) – ложное высказывание.

д) – ложное высказывание.

55. Определите значения истинности высказываний А, В, С, D, Е, F, J, K если:

а) А ® (2 × 2 = 5) – истинное высказывание.

б) В ® (2 × 2 = 5) – ложное высказывание.

в) С ~ (2 × 2 = 4) – истинное высказывание.

г) D ~ (2 × 2 = 5) – ложное высказывание.

д) (2 × 2 = 4) ® E – ложное высказывание.

е) (2 × 2 = 4) ® D – истинное высказывание.

ж) (2 × 2 = 5) ~ F – ложное высказывание.

з) (2 × 2 = 5) ~ J – истинное высказывание.

и) (2 × 2 = 5) ® K – истинное высказывание.

56. Определите значения истинности высказывания С:

а) – истинное высказывание,

B ~ C – истинное высказывание.

б) A ® В – ложное высказывание,

С ® В – истинное высказывание.

в) – ложное высказывание,

– истинное высказывание.

г) - ложное высказывание,

– ложное высказывание.

д) – истинное высказывание,

~C – истинное высказывание.

е) – истинное высказывание,

(А ~ В) – истинное высказывание.

57. Определите значения истинности высказывания D:

а) – ложное высказывание,

– истинное высказывание,

– истинное высказывание.

б) – истинное высказывание,

С ~ В – истинное высказывание,

– истинное высказывание.

в) – истинное высказывание,

– истинное высказывание,

С ® D – истинное высказывание.

г) – истинное высказывание,

– истинное высказывание,

С ~ D – истинное высказывание.

д) – истинное высказывание,

– истинное высказывание.

е) – истинное высказывание,

С ~ В – ложное высказывание,

– истинное высказывание.

58. Определите значения истинности высказываний А и В:

а) А ~ В – ложное высказывание,

A ® В – истинное высказывание.

б) А ~ – истинное высказывание,

A ® В – истинное высказывание.

в) – истинное высказывание,

А ~ В – истинное высказывание.

г) – ложное высказывание,

А ~ В – истинное высказывание.

д) – ложное высказывание,

– истинное высказывание,

A ® В – истинное высказывание.

е) – истинное высказывание,

– истинное высказывание,

А ~ В – истинное высказывание.

ж) – истинное высказывание,

A ® В – истинное высказывание,

А ~ В – истинное высказывание.

з) A ® В – истинное высказывание,

А ~ – истинное высказывание.

59. Определите значение истинности сложного высказывания:

а) – истинное высказывание,

А ~ В – истинное высказывание.

Найти истинность высказывания ().

б) (А ~ В) – ложное высказывание,

A ® В – истинное высказывание.

Найти истинность высказывания .

в) – истинное высказывание,

– истинное высказывание.

Найти истинность высказывания (В ~ С).

г) (A ® В)® С – ложное высказывание,

С ~ В – истинное высказывание.

Найти истинность высказывания .

д) (A ® В) ~ С – истинное высказывание,

– ложное высказывание.

Найти истинность высказывания .

е) – истинное высказывание.

Найти истинность высказывания A ® В.

 

60. Решите логические задачи:

а) Андрей или переутомился или болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не раздражается. Следует ли из приведенных рассуждений, что Андрей болен?

б) Наташа играет на гитаре и улыбается тогда, и только тогда, когда у нее хорошее настроение. Неверно, что если она играет на гитаре, то улыбается. Хорошее ли настроение у Наташи?

в) Паша дарит девушкам розы или лилии. Неверно, что если девушка ему нравится, то он дарит ей розу. Дарит ли Паша понравившейся ему девушке лилии?

г) Если завтра будет холодно, то я надену теплое пальто, если починю рукав. Завтра будет холодно, а рукав я не починю. Следовательно, я не надену теплое пальто. Верны ли рассуждения?

д) Если Андрей не пропускал лекции или готовился дома самостоятельно, то писал контрольную работу на «отлично». Он написал контрольную работу не на «отлично». Готовился ли Андрей дома самостоятельно, если пропускал лекции?

е) Маша поет и танцует тогда, и только тогда, когда у нее репетиция. Неверно, что если она танцует, то поет. У Маши сейчас репетиция?

ж) Света не сделала домашнее задание по географии или по физике. Неверно, что если Света получила двойку, то она не сделала домашнее по физике. А если Света получила двойку, то сделала ли она домашнее задание по географии?

з) Юля пьет чай или ест пирожное тогда и только тогда, когда она в гостях. Сейчас она пьет чай и не ест пирожное. В гостях ли Юля?