Тема 2.1. Понятие вероятности случайных событий. Случайные величины.

Если космос располагает безграничным запасом времени, это не просто означает, что может произойти все, что угодно. Это означает, что все когда-нибудь действительно произойдет.

Эрланд Лу [17]

Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

Когда речь идет о соблюдении комплекса условий данного испытания, имеется в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом, как правило, имеет место большое число неконтролируемых факторов, которые трудно или невозможно учесть.

Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или не наблюдаться при данном испытании. Любое из этих явлений называется в теории вероятностей событием.

 

События делятся на:

невозможные (в результате опыта никогда не произойдут),

достоверные (в результате опыта происходят всегда),

случайные (в результате опыта событие может произойти или не произойти).

Здесь предполагаем, что испытание может быть повторено неограниченное (по крайней мере, теоретически) число раз. Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо — событие.

Другим примером события, часто приводимым в учебниках по теории вероятностей, является выпадение определенного числа очков (от 1 до 6) при бросании игральной кости. Тогда примером случайного события может служить выпадение на игральной кости 1 или 2 очков; примером достоверного события может служить выпадение на игральной кости количества очков, меньшего 7; примером невозможного события может служить выпадение на одной игральной кости 10 очков.

События в теории вероятностей обозначают начальными прописными латинскими буквами А, В, С,...

Случайные события называются несовместными, если появление одного исключает появление другого. Например, промах при стрельбе по мишени уже исключает попадание по цели. В противном случае они называются совместными. Например, «Идет дождь» и «Идет снег», оба действия могут происходить одновременно и не исключают появления друг друга.

Если, по условиям испытания нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, то все исходы являются равновозможными. Например, при бросании монетки шансы выпадения орла и шансы выпадения решки одинаковы, а вот то, что монетка встанет на ребро, уже менее вероятно, поэтому выпадение орла или решки при бросании монетки – равновозможные события.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Например, два продавца независимо друг от друга обсуживают покупателей.

Вероятность р какого-либо события – численное выражение возможности его наступления, причем оценивается от нуля (вероятность невозможного события) до единицы (вероятность достоверного события): .

Итак, исходя из определений невозможного и достоверного событий, понятно, что вероятность невозможного события равна 0 (0%), а вероятность достоверного события равна 1 (100 %). Сложнее обстоят дела с определением вероятности случайного события.

Представим себе общую схему таких испытаний. Пусть испытание имеет n равновозможных возможных несовместных исходов, т. е. отдельных событий, могущих появиться в результате данного испытания, причем при каждом повторении испытания возможен один и только один из этих исходов. Кроме того, пусть по условиям испытания, нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, т. е. все исходы являются равновозможными.

Допустим теперь, что при n равновозможных несовместных исходах интерес представляет некоторое событие А, появляющееся при каждом из m исходов и не появляющееся при остальных n–т исходах. Тогда принято говорят, что в данном испытании имеется п случаев, из которых т благоприятствуют появлению события А.

Вероятность случайного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта:

 

Данная формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша. [11]

Приведем пример нахождения вероятности случайного события по данной формуле. Допустим, нам нужно определить вероятность того, что из колоды в 36 карт вытянут туза. Всего в колоде 36 карт, то есть число всех равновозможных исходов n =36. Благоприятных для данного события исходов (то есть нужных нам карт – тузов) m =4. Подставив в формулу получим вероятность 4/36=1/9.

 

Задачи

61. Вы купили телевизор и вам дали 2 года гарантии. Какие из следующих событий достоверные, какие – случайные, какие – невозможные:

а) Телевизор не сломается в течение года.

б) Телевизор не сломается в течение 2 лет.

в) Вам не придется платить за ремонт телевизора в течение 2 лет.

г) Телевизор сломается на третий год.

д) Когда он сломается, вам подарят новый.

е) 31 февраля вам принесут подарок, как покупателю, выигравшему в лотерею.

62. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его словами «всего скорее», «маловероятно», «это всегда произойдет», «невозможно»:

а) Завтра вам подарят букет роз.

б) У вас будет пять за экзамен по математике.

в) Завтра вы проснетесь под пение птиц.

г) Вверх подкинули монету, и она упала на землю, встав на ребро.

д) Сегодня при входе в колледж давали апельсины.

е) Сегодня – воскресенье.

ж) У Кати 30 февраля день рождения.

з) Через некоторое время будет перемена.

и) 31 ноября вы получите пятерку.

к) В.В. Путин – президент Италии.

л) В следующем году первый снег выпадет в Москве в воскресение.

м) Свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз.

н) При бросании кубика выпадет шестерка.

о) В Кирове температура будет весь сентябрь больше +15⁰С.

п) Футбольный матч «Спартак» – «Динамо» закончится в ничью.

р) Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.

с) Завтра будет проверочная работа по математике.

т) 30 февраля будет дождь.

у) Вас изберут президентом США.

ф) Наступил сентябрь.

63. Приведите по 2 примера своих случайных, невозможных и достоверных событий.

64. Председатель актива студентов, заместитель председателя и все-все-все старосты групп колледжа садятся за круглый стол обсуждать итоги учебного года. При каком количестве всех-всех-всех событие А ={Председатель и заместитель председателя будут сидеть рядом} является достоверным, а при каком – случайным.

65. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых купальника для выступления. Вынимаем наугад 4 купальника. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные.

а) А = {Все купальники одного цвета}.

б) В = {Все купальники разных цветов}.

в) С = {Среди купальников есть купальники разных цветов}.

г) D = {Среди купальников есть купальники всех трех цветов}.

66. В коробке 2 красных, 2 черных, 2 белых пары перчаток для выступления. Вынимаем наугад 4 перчатки. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные.

а) А = {Все вынутые перчатки одного цвета}.

б) В = {Все вынутые перчатки разных цветов}.

в) С = {Все вынутые перчатки на левую руку}.

г) D = {Среди вынутых перчаток есть такие, которые образуют пару, то есть одна из перчаток на левую руку, другая - на правую}.

д) E = {Среди вынутых перчаток есть такие, которые образуют одноцветную пару}.

е) F = {Одна из вынутых перчаток черного или белого цвета}.

67. На тетрадный лист в линейку бросают зубочистку. Расстояние между линейками 1 см. При какой длине зубочистки событие А ={ зубочистка пересекла 10 линий } будет невозможным, при каком – случайным, при каком – достоверным?

68. В колоде 36 карт. Какова вероятность того, что будет вытянута из этой колоды:

а) «Дама».

б) «Дама» или «Король».

в) Не «десятка».

69. В комнате находятся два черных и четыре красных баяна. Какова вероятность того, что человек, зашедший в эту комнату, вынесет для вас красный баян.

70. Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбрали букву, какова вероятность того, что она гласная?

71. Среди восьми контрольных работ – две пятерки, какова вероятность того, что случайно из них возьмут не «пятерочную» работу.

72. В компьютерном классе имеют выход на сайт «В Контакте» 2 компьютера (всего компьютеров 11). Какова вероятность того, что Вы сможете выйти на данный сайт со своего учебного компьютера?

73. Перед концертом группа 2ТП украшает сцену. В коробке находится 30 зеленых, 50 синих и 40 красных шариков. Найти вероятность того, что из коробки первым достанут синий шарик.

74. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

а) Оканчивается нулем.

б) Состоит из разных цифр.

75. В лотерее участвуют 100 билетов и разыгрывается 1 приз. Какова вероятность того, что вы ничего не выиграете на свой единственный билет? А если Вы купите 20 билетов, участвуя в этой же лотерее, то какова вероятность, что на этот раз вы выиграете?

76. Из колоды карт наугад выбирают 2 карты. Какова вероятность того, что обе карты будут тузами?

77. Брошены 2 игральные кости, найти вероятность того, что

а) Сумма выпавших очков равна восьми?

б) Сумма выпавших очков равна восьми, а разность четырем?

в) Сумма равна пяти, а произведение – четырем?

78. Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы 1 раз выпадет орел.

79. Вы кидаете кубик. Какова вероятность того, что при бросании кубика один раз не выпадет желаемое вами количество очков? А если кубик кинуть 2 раза, то какова вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков?

80. Вы забыли последнюю цифру номера, который набираете, только помните, что она четная. Найдите вероятность того, что вы дозвонитесь по правильному номеру.

81. В книге 296 страниц. Какова вероятность того, что ее откроют на странице, которая оканчивается номером на цифру 5?

82. Вы должны получить квартиру в строящемся 40-квартирном доме. Какова вероятность того, что в ее номере не будет нечетных цифр? А что все цифры одинаковые?

83. Студент забыл последние 2 цифры номера телефона старосты, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные 2 цифры.

84. В коробке 10 книг: 3 с белыми и 7 с черными обложками. Из коробки случайным образом вынимают сразу 2 книги. Какова вероятность того, что обе книги окажутся с белыми обложками?

85. Цифры 1, 2, 3, …, 9 выписаны на отдельные карточки. Карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку, какова вероятность того, что на этой карточке:

а) четное число;

б) двузначное число;

в) цифра.

86. Три господина пришли в ресторан и сдали свои пальто в гардероб. Расходились по домам они поздно вечером, когда уже было темно, и взяли пальто наугад. Какое из событий вероятнее А ={каждый одел свое пальто}, В ={все надели чужие пальто}, С ={двое надели чужие пальто, а один - свое}, D ={двое надели свои пальто, а один - чужое}.