Расчёт размерных цепей вероятностным методом

 

Более точным и научно обоснованным методом расчёта РЦ является метод, основанный на теории вероятностей. При механической обработке деталей размеры имеют определённые погрешности. Эти погрешности носят случайный характер, но в результате контроля рассеяние размеров будет лежат в пределах допуска. В теории вероятностей доказывается, что если случайная величина представляет собой суммубольшого числа взаимно независимых случайныхслагаемых, среди которых нет резко доминирующих, то независимо от того, каким законам распределения, подчиняются слагаемые, сумма всегда имеет распределение, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

Погрешность замыкающего звена и является такой случайной величиной. Поэтому погрешности замыкающего звена будут подчинятся законам нормального распределения и тем точнее, чем больше число' составляющих звеньев РЦ.

При решении прямой задачи исходным является поле допуска замыкающего звена Т_Δ подлежащее распределению между составляющими звеньями. Значение Т_Δ распределяют с учётом выбираемых значений коэффициента риска t_Δ и коэффициента λ_i характеризующего закон рассеяния отклонений составляющего звена.

Значения коэффициента риска t_Δ выбирают из таблиц значений функции Лапласа Ф(t) в зависимости от принятого риска Р в %. Некоторые значения коэффициента t_Δ приведены ниже:

Риск Р в %... 32.00 10.00 4.50 1.00 0.27 0.10 0.01

Коэффициент t_Δ…. 1.00 1.65 2.00 2.57 3.00 3.29 3.89

Правильность выбора значений Р может быть обоснована только технико - экономическим расчётом. Обычно в технологии машиностроения принимают Р=0.27%, а t_Δ =3.00.

Практика показывает, что наиболее распространёнными законами, которым подчинено рассеяния отклонений, являются нормальный закон (Гаусса), где λ_i² =1/9, закон треугольника (Симпсона), где λ_i²=1/6, закон равной вероятности, λ_i²= 1/3.

Теоретическую основу для установления связи между полем допуска замыкающего звена и полями допусков составляющих, звеньев РЦ дают положения теории вероятностей, касающиеся функции случайных аргументов. Согласно этим положениям

(10.10)

Возможное поле рассеяния замыкающего звена при известных полях Ѡ_I соответствующих звеньев, коэффициентах λ_i и выбранном коэффициенте t _Δ можно рассчитать по формуле

(10.11)

Распределение значений полей допусков замыкающего звена между составляющими звеньями (прямая задача) ведут, сопровождая его хотя бы мысленной оценкой экономической целесообразности устанавливаемого поля на то или иное составляющее звено. В нашем случае задача носит учебный характер, поэтому отметим, что критерием удачного распределение поля допуска замыкающего звена между составляющими звеньями может служить лишь себестоимость решения задачи с помощью рассматриваемой цепи. Имея дело с полной линейной размерной цепью, при которой |Ɛ₁| = 1, и решая задачу методом полной взаимозаменяемости, необходимо соблюсти условие

(10.12)

где m-1 - число составляющих звеньев размерной цепи.

Эта задача может быть решена несколькими способами: способом равных допусков, способом пробных расчётов и способом единого квалитета.

 

10.2.3. Способы определения допусков составляющих звеньев

 

Способ равных допусков применяют, если составляющие размеры являются величинами одного порядка (например, входят в один интервал размеров) и могут быть выполнены с примерно одинаковой экономической точностью. В этом случае можно принять

(10.13)

Способ равных допусков прост, но недостаточно точен.

Способ пробных расчётов заключается в том, что на все составляющие звенья РЦ назначаютсяэкономичные допуски с учётом характера работы детали и выбранного метода обработки, а также предельные отклонения по усмотрению конструктора. Экономичные допуски для выбранных методов обработки могут быть определены с использованием таблиц, приводимых в технической литературе.

Способ единого квалитета заключается в том, что на все составляющие звенья РЦ назначаются допуски одного или двух соседних квалитетов. Необходимый квалитет определяют по числу единиц допуска. Единица допуска равна

(10.14)

 

где D - среднегеометрическое значение крайних размеров интервала, в которой попадает размер составляющего звена, т. е.

,

где D₁ и D₂ - крайние размеры интервала.

Так как

T_i= a_i ˟ i, a₁=a₂=a_3…=a_m-1=a_m,

то Т_Δ=а_ji_j+а₂i₂+...+а_m-1i_m-1.

Откуда

(10.15)

По а_m выбирают ближайший квалитет, по которому назначают допуски.