Математическая схема общего вида

При использовании математической схемы общего вида модель объекта моделирования, представляется в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих четыре непересекающихся подмножества:

X ={ x_i }, i =1,…, n_X — подмножество совокупности входных воздействий на систему;

V ={ v_l }, l =1,…, n_V — подмножество совокупности воздействий внешней среды на систему;

G ={ g_k }, k =1,…, n_G — подмножество совокупности внутренних (собственных) параметров системы;

Y ={ y_j }, j =1,…, n_Y — подмножество совокупности выходных характеристик системы.

При моделировании системы входные воздействия X, воздействия внешней среды V и внутренние параметры системы G являются независимыми (экзогенными) переменными, а выходные характеристики Y — зависимыми (эндогенными) переменными.

Процесс функционирования системы описывается во времени оператором, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношением вида

Y (t)= F_s (X, V, G, t). (1.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y_j (t), j =1, n_Y называется выходной траекторией. Зависимость F_s называется законом функционирования системы. В общем случае закон функционирования системы может быть задан в виде функции, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования A_s. Здесь понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий X (t), воздействий внешней среды V (t) и собственных параметров системы G (t). Очевидно, что один и тот же закон функционирования F_s системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования.

Соотношение (1.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) во времени t, то есть отражают его динамические свойства. Модели такого вида принято называть динамическими моделями.

Для статических ММ (1.1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y = f (X, V, G).

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z ₁(t), z ₂(t), …, z_k (t), , то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k -мерном пространстве. Каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных состояний { z } называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем .

Состояния системы S в момент времени полностью определяются начальными условиями Z ₀, входными воздействиями X (t), внутренними параметрами G (t) и воздействиями внешней среды V (t), которые имели место на промежутке времени { t ₀, t *}. Состояния можно представить с помощью уравнений:

(1.2)

(1.3)

Уравнение (1.2) по начальному состоянию Z ₀ и экзогенным переменным X, V, G, определяет векторную функцию Z (t), а уравнение (1.3) по полученному значению состояний Z (t) определяет эндогенные переменные на выходе системы Y (t). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход — состояния — выход» позволяет определить характеристики системы .

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, то есть квантованное на отрезки длиной Δ t временных единиц каждый, T = m Δ t.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) конечное множество переменных { X (t), V (t), G (t)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками Y (t).

Если математическое описание объекта моделирование не содержит элементов случайности, или они не учитываются, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями . Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако, в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рационально использовать типовые математические схемы, например, дифференциальные уравнения; конечные и вероятностные автоматы; системы массового обслуживания, Сети Петри.

Перечисленные схемы определяют основные подходы для построения ММ.