Принятие решений при управлении коммерческой деятельностью на основе теории игр

 

В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда при наличии многих участников эффективность реше­ния одного из них зависит от того, какие решения приняли другие участники. Например, доход предприятия от продажи изделия зависит не только от установленной на него цены, но и от количества купленных покупателем изделий. Или при вы­боре ассортимента товаров, выпускаемых предприятием, нуж­но учитывать, какой ассортимент товаров выпускают другие предприятия.

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут догово­риться о совместных действиях; интересы участников не сов­падают. В этом случае может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации та­кого типа называются конфликтными. Построением матема­тических моделей конфликтных ситуаций и разработкой мето­дов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр.

В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких противников, поэтому игры разделяются на парные и множес­твенные. Если во множественной игре интересы игроков сов­падают, то они могут объединяться, создавая коалиции. Такие игры называются коалиционными.

Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, то есть определение для них оптимальной стратегии. Стратегией игрока называется система правил, однозначно определяющих поведение игрока на каждом ходе в зависимос­ти от ситуации, сложившейся в процессе игры. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от это­го игры подразделяются на конечные и бесконечные.

 

Игры с "природой"

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется не­определённость, вызванная отсутствием информации об усло­виях, в которых осуществляется действие (покупатель­ский спрос, погода и т. д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с "природой". Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (покупательский спрос, природа) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей

(a_ij) _{m ´ n}.

Существует ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии.

1. Критерий Вальде рекомендуется применять при максиминной стратегии. Она достигается из условия

max (min a_ij)

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является песси­мистическим, считается, что природа будет действовать наи­худшим для человека образом.

2. Критерий максимума выбирается из условия

max (max a_ij).

Критерий является оптимистическим, считается, что при­рода будет наиболее благоприятна для человека.

3. Критерий Гурвица рекомендует стратегию, определяемую по формуле

max { a min a_ij + (1 – a) max a_ij },

где a – степень оптимизма, изменяющаяся в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной по­зиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наи­лучшего для человека поведения природы. При a = 1 критерий превращается в критерий Вальде, при a = 0 – в критерий максимума. На a оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застрахо­ваться, тем a ближе к единице.

4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе та­кой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элемент матрицы рисков (r_ij) находится по формуле

r_ij = max (a_ij – a_ij),

где max a_ij – максимальный элемент в столбце исходной мат­рицы.

Оптимальная стратегия находится из выражения

min { max (max a_ij – a_ij)}.

 

Пример

 

Определить производственную программу предприятия в условиях риска и неопределённости для фирмы-производителя медикаментов и био­медицинских изделий в регионе. Известно, на летний пе­риод приходится пик спроса на лекарственные препараты сердечно-сосудистой группы и анальгетики, на осенний и весенний периоды – на препараты антиинфекционн­ой группы.

Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь со­ставили: по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) – 20 р.; по второй группе (антиинфекционные препараты) – 15 р.

Маркетинговые исследования позволили установить, что фирма может реали­зовать в течение этих месяцев в услови­ях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях хо­лодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.

В связи с возможными изменениями погоды ставится за­дача – определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 р. – второй группы.

 

Решение

 

Устанавливается две стратегии:

А ₁ – в этом году будет теплая погода;

А ₂ – погода будет холодная.

Если фирма примет стратегию А ₁ и в действительности будет теплая погода (стратегия природы B ₁), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит

3050 × (40 – 20) +1100 × (30 – 15) = 77 500 р.

В условиях холодной погоды (стратегия природы В ₂) препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только в количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит

1525 × (40 – 20) + 1100 × (30 – 15) – 20 × (3050 – 1525) = 16500 р.

Аналогично, если фирма примет стратегию А ₂и в дейст­вительности будет холодная погода, то доход составит

1525 × (40 – 20) + 3690 × (30 – 15) = 85 850 р.

При теплой погоде доход составит

1525 × (40 – 20) + 1100 × (30 – 15) – (3690 – 1100) × 15 = 8150 р.

Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу

В ₁ В ₂

(1)

А ₁ 77 500 16 500

А ₂ 8 150 85 850

 

a = max(16 500, 8150) = 16 500 р.,

b = min(77 500, 85 850) = 77 500 р.

Цена игры лежит в диапазоне 16 500 р. £ n £ 77 500 р.

Из платежной матрицы (1) видно, что при всех условиях до­ход фирмы будет не меньше 16 500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может со­ставить 77 500 р.

Найдём решение игры графическим методом (2 ´ n).

Для этого обозначаем вероятность применения фирмой стратегии А ₁ через x ₁, стратегии А ₂ – через х ₂, причём x ₂ = 1 – х ₁.

Ожидаемые выигрыши рассчитываются по платёжной матрице (1), в которой доходы обозначаются как коэффициенты a_ij.

 

	2 игрок – "Природа"
	В1	В2
1 игрок (производитель	А1	x1	a11	a12
А2	x2 = 1 – х1	a21	a22

 

При этом ожидаемые выигрыши первого игрока (производителя) в зависимости от стратегии второго игрока (состояния "Природы") рассчитываются по зависимостям:

· для 1-й стратегии – (a ₁₁ – a ₁₂) х ₁ + a ₂₁;

· для 2-й стратегии – (a ₁₂ – a ₂₂) х ₁ + a ₂₂.

Следовательно для платёжной матрицы (1)

Стратегии 2-го игрока	Ожидаемые выигрыши 1-го игрока
	(77 500 – 8 150) ×x1 + 8 150 = 69 350 × x1 + 8 150
	(16 500 – 85 850) ×x1 + 85 850 = –69 350 ×x1 + 85 850

 

Для графического поиска оптимального значения через точки x ₁ = 0 и x ₁ = 1 на оси X ₁ проводятся перпендикулярные линии (рис. 4). Подставляя значения x ₁ = 0 и x ₁ = 1 выражения ожидаемых выигрышей 1-го игрока, находят значения, которые откладывают на соответствующих перпендикулярах, и соответствующие точки соединяют прямыми.

Рис. 4

 

Оптимальная стратегия первого игрока определяется из равенства выражений (69 350 × x ₁ + 8 150) и (–69 350 × x ₁ + 85 850).

x ₁ = 0,56; x ₂ = 0,44.

Цена игры определяется из выражения

n = 69 350 × x ₁ + 8 150 = 46 986 р.

Оптимальный план производства лекарственных препара­тов составит

0,56 × (3050; 1100) + 0,44 × (1525; 3690) = (2379; 2239,6).

Таким образом, фирме целесообразно производить в тече­ние сентября и октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46 986 р.

 

В условиях неопределённости, если не представляется воз­можным фирме использовать смешанную стратегию (догово­ры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем критерии природы и платежную матрицу (1).

1. Критерий Вальде

max (min a_ij) = max (16 500, 8 150) = 16 500 р.

Фирме целесообразно использовать стратегию А ₁.

2. Критерий максимума

max (max a_ij) = max (77 500, 85 850) = 85 850 р.

Фирме целесообразно использовать стратегию А ₂.

3. Критерий Гурвица

Для определённости примем критерий оптимизма a = 0,4, тогда для стратегии фирмы А ₁.

a min a_ij + (1 – a) max a_ij = 0,4 × 16500 + (1 – 0,4) × 77500 = 53100 р.;

для стратегии А ₂

a min a_ij + (1 – a) max a_ij = 0,4 × 8150 + (1 – 0,4) × 85850 = 54770 p.,

max (53 100, 54 770) = 54 770 p.

Фирме целесообразно использовать стратегию А ₂.

4. Критерий Сэвиджа.

Максимальный элемент в первом столбце платёжной матрицы (1) – 77 500, во втором столбце – 85 850.

Элементы матрицы рисков находятся из выражения

r_ij = max (a_ij – a_ij),

откуда

r ₁₁ = 77 500 – 77 500 = 0; r ₁₂ = 85 850 – 16 500 = 69 350;

r ₂₁ = 77 500 – 8 150 = 69 350; r ₂₂ = 85 850 – 85 850 = 0.

Матрица рисков имеет вид

0 69350

69350 0

min { max (max a_ij – a_ij)} = min(69 350, 69 350) = 69 350 p.

Итак, можно использовать любую стратегию А ₁ или А ₂.

 

Каждый из рассмотренных критериев не мо­жет быть признан вполне удовлетворительным для оконча­тельного выбора решений, однако их совместный анализ поз­воляет наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.

При известном распределении вероятностей различных со­стояний природы критерием принятия решения является мак­симум математического ожидания выигрыша.

 

Задача 3.1

 

Фирма производит пользующиеся спросом детские пла­тья и костюмы, реализация которых зависит от состояния по­годы. Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу про­дукции составят: платья – А ден. ед., костюмы – В ден. ед. Цена реализации составит С ден. ед. и D ден. ед. соответствен­но.

По данным наблюдений за несколько предыдущих лет фир­ма может реализовать в условиях тёплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде – М шт. платьев и N шт. костюмов.

В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.

Задачу решить графическим методом и с использованием критериев игр с природой, приняв степень оптимизма a, ука­занную в табл. 4.

Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.

 

Таблица 4

Исходные данные для решения задачи 3

 

Значения переменных	Вариант
А
В
С
D
E
K
M
N
a	0,4	0,6	0,3	0,7	0,5	0,4	0,3	0,7	0,6	0,5

 

 

ЗАДАНИЕ 4

Модели управления запасами

 

Важнейшим этапом планирования работы любой фирмы, магазина или торгового центра – является определение рационального уровня запасов сырья, полуфабрикатов, товаров и т. п. Причинами создания запасов является необходимость обеспечения бесперебойного снабжения потребителя товарами, периодичность поставок различных видов продукции поставщиками, осуществление транспортировки большинства видов продукции от поставщика к потребителю, а также несовпадение ритма производства с ритмом потребления.

Запасов должно быть ни слишком много, ни слишком мало. В первом случае возникает необходимость неоправданных затрат на хранение, амортизацию товара. Во втором случае может оказаться так, что на складе не будет нужного товара. Кроме того, малое количество запасов подразумевает их частое пополнение, что также требует затрат. Задача управления запасами состоит в том, чтобы избежать обеих крайностей и сделать общие затраты меньше.

Разработаны многочисленные модели с применением различных математических методов. Рассмотрим несколько простейших детерминированных моделей управления запасами.

При решении задач управления запасами важнейшую роль играет функция изменения запаса – связь между числом единиц товара на складе Q и временем t. При наличии спроса на товар эта функция убывает, если же товар завозят на склад – возрастает.

Основная модель управления запасами

Будем считать возможным мгновенное пополнение запаса и наличие на складе одного вида товара.

Затраты, связанные с запасами, делятся на три части: 1) стоимость товара; 2) организационные издержки – расходы, связанные с оформлением товара, его доставкой, разгрузкой и т. д.; 3) издержки на хранение товара – затраты на аренду склада и др.

В рамках основной модели приняты следующие величины.

1. Цена единицы товара – c усл. ед. Цена постоянна, рассматривается один вид товара.

2. Интенсивность спроса – d единиц товара в год. Будем считать, что спрос постоянный и непрерывный.

3. Организационные издержки – s усл. ед. за одну партию товара. Будем считать, что организационные издержки не зависят от размера поставки, т. е. от числа единиц товара в одной партии.

4. Издержки на хранение запаса – h усл. ед. на единицу товара в год. Будем считать эти издержки постоянными.

5. Размер одной партии товара постоянен – q единиц. Партия поступает мгновенно в тот момент, когда возникает дефицит, т. е. когда запас на складе становится равным нулю.

При сделанных предположениях график функции изменения запаса будет таким, как показано на рис. 4 а. Он состоит из повторяющихся циклов пополнения запаса между двумя соседними дефицитами. Вертикальные отрезки отвечают мгновенному пополнению запаса.

Рис. 4. Графики функций изменения запаса товара (а) и общих издержек (б)

Параметры c, d, s, h считаются заданными. Задача управления запасами состоит в выборе параметра q таким образом, чтобы минимизировать годовые затраты. Для решения сформулированной задачи надо прежде всего выразить эти затраты через параметры c, d, s, h, q.

Общие издержки C можно вычислить по формуле

,

где первое слагаемое в правой части – стоимость товара, второе – организационные издержки на его хранение. Пунктир на рис. 4 а – средний уровень запаса.

Требуется найти такое оптимальное число q^*,чтобыфункция

C = C(q) принимала наименьшее значение на множестве q > 0 именно в точке q^*.

График функции C = C(q) показан на рис. 4 б.

Для нахождения точки q^* – минимума функции C = C(q) – найдём её производную (c, d, s, h, q – фиксированные числа)

.

Приравняв C^’(q) кнулю, получаем:

.

Отсюда можно найти q^*,

Полученная формула является формулой оптимального запаса.

Найдя оптимальный размер запаса, можно определить оптимальное число поставок за год n^* и соответствующую продолжительность цикла изменения запаса t^*:

По этому алгоритму решается задача 1.