Основы кинематики манипуляторов роботов

Для разработки методов расчета управляющих воздействий на звенья робота необходимо в начале установить кинематические зависимости между перемещениями звеньев манипулятора относительно друг друга при работе приводов и положением и ориентацией всех звеньев манипулятора в пространстве.

Как известно, положение и ориентация схвата в пространстве определяется законами его движения относительно абсолютных (инерциальных) осей координат (рис. 6.5):

Рис. 6.5

положение i-го звена относительно предыдущего (i-1)-го устанавливается с помощью обобщенной координаты q_i (рис. 6.6):

 

Рис. 6.6

 

Следовательно, необходимо иметь математический аппарат, позволяющий установить для манипулятора любой конфигурации математическую модель его кинематики, которую в общем виде можно представить следующим образом:

– для прямой задачи кинематики: – для обратной задачи кинематики:

 

Задачи подобного ряда сводятся к преобразованию координат. В общем случае для того, чтобы зафиксировать одну систему координат относительно другой необходимо шесть координат: смещение по трем осям и поворот вокруг этих осей.

В связи с тем, что в манипуляторах роботов используются только одноподвижные вращательные и поступательные кинематические пары, для определения положения систем координат, связанных со звеньями манипулятора, достаточно четырех специальных координат. При этом сами системы координат должны быть связаны со звеньями манипулятора вполне определенным образом.

Специальные системы координат манипуляторов были предложены американскими учеными И. Денавитом и Р. Хартенбергом в 1955–1960 гг.

Изначально они предназначались для задания осей кинематических пар пространственных механизмов с низшими парами. В последние десятилетия эта координатная система была применена к описанию кинематики манипуляторов. Это связано с тем, что манипуляторы с одноподвижными вращательными и поступательными парами обладают рядом регулярных особенностей, хорошо согласующихся со свойствами координатной системы Денавита-Хартенберга.

Рис. 6.7

Введем ряд правил расположения осей и начал координат специальной системы координат относительно кинематических пар и звеньев манипулятора.

Пронумеруем кинематические звенья от неподвижного звена до наиболее удаленного, на котором закреплен схват, присвоив им соответственно номера от 0 до n (рис. 6.7), где n – число подвижных звеньев манипулятора.

Обозначим кинематические пары символом А_i, нижний индекс которого равен меньшему из номеров звеньев, образующих кинематическую пару.

Например, кинематическая пара А₁ соединяет кинематические звенья 1 и 2, а кинематическая пара А₃ – кинематические звенья 3, 4 и т. д…

Введем понятие оси z_i i-й кинематической пары. Осью z_i i-й вращательной кинематической пары, соединяющей i-е звено с (i+1)-м является ось шарнира кинематической пары. Эту ось будем считать принадлежащей i-му звену и жестко с ним соединенной. Именно вокруг этой оси вращается (i+1)-е звено относительно i-го.

Осью z_i поступательной пары является какая-либо из прямых, параллельная направляющей данной поступательной пары. Если ось z_i не параллельна оси z_i-1, то ее рекомендуется направлять так, чтобы она пересекалась с этой осью.

За положительное направление оси z_i можно взять любое, в частности, направление снизу вверх, слева направо, в направление к наблюдателю или близкие к ним направления.

Важным моментом при расположении системы координат на i-м звене манипулятора является выбор ее начала координат О_i и направление оси x_i.

Введем соответствующие правила для различных случаев взаиморасположения осей z_i и z_i-1.

Оси z_i и z_i-1 перекрещиваются (рис. 6.8): начало координат располагается в точке пересечения линии кратчайшего расстояния между осями z_i и z_i-1 с осью z_i. В этом случае ось х_i направляется по линии кратчайшего расстояния в сторону от оси z_i-1 к оси z_i.

 

Рис. 6.9

Рис. 6.8

 

Оси z_i и z_i-1 параллельны (рис. 6.9): за начало координат может быть принята любая удобная по каким-либо соображениям точка оси z_i. Ось х_i направляется так, чтобы она лежала в плоскости, образуемой осями z_i и z_i-1. (Случай рассматривается как частный по отношению к предыдущему.).

Оси z_i и z_i-1 совпадают (рис. 6.10): начало О_i системы координат может быть назначено в любой удобной по каким-либо дополнительным условиям точке оси z_i, а ось х_i направлена перпендикулярно оси z_i в произвольном направлении (как правило, в направлении развития i-го звена, т. е. по i-му звену).

Оси z_i и z_i-1 пересекаются (рис. 6.11): за начало О_i координат принимается точка их пересечения, а ось х_i направляется по общему перпендикуляру к осям z_i и z_i-1.

Ось у_i направляется так, чтобы система координат была правой.

 

Рис. 6.11

Рис. 6.10

 

Эти правила не действуют в полной мере при выборе системы координат, связанной со стойкой (звено 0), так как отсутствует (i-1)-я кинематическая пара, и системы координат, связанной с последним звеном, на котором закрепляется схват, так как это последнее звено не содержит кинематической пары для соединения со следующим звеном.

Начало О₀ системы координат, связанной со стойкой, может быть расположено в любой точке оси z₀, а направление оси x₀ принимается произвольно по дополнительным условиям (рис. 6.12).

 

Рис. 6.13

Рис. 6.12

 

Начало О_n системы координат, связанной с последним n-м звеном манипулятора (рис. 6.13), на котором закреплен схват, располагается в точке, принимаемой за центр схвата, а ось х_n направляется перпендикулярно оси z_n-1. Оси z_n может быть назначено произвольное направление, например по оси захватываемой детали или технологического инструмента или перпендикулярно ей.

 

6.4. Однородные координаты.
Матрица перехода 4×4 кинематической пары

При составлении математических моделей манипуляторов наибольшее распространение получило матричное исчисление (матричное исчисление было предложено в 1857 г. английским ученым Кэли). Долгое время для этой цели использовалось сочетание матриц поворота размером 3×3, элементами которых были направляющие косинусы углов между осями (трех осей одной системы координат относительно трех осей другой), и матриц переноса размером 3×1, элементами которых служили координаты по трем осям начала соответствующей системы координат.

Наличие двух матриц разной размерности и разного назначения привело к необходимости использовать операции умножения и сложения матриц, к усложнению алгоритма вычисления, а следовательно, к увеличению машинного времени, что сказывается на отработке управляющих сигналов в реальном времени и на управляемости робота.

В последние десятилетия стали использовать комплексные матрицы перехода размером 4×4, позволяющие осуществлять поворот и перенос (смещение) одних координат по отношению к другим. В этом случае для описания положения точки в пространстве используются однородные координаты, в которых к обычным координатам добавляется четвертая, равная единице, то есть координатами точки будут (x_i, y_i z_i, 1). Если известны однородные координаты (x_i, y_i, z_i, 1) вектора r _i некоторой точки A_i в «старой» i-й системе координат, то однородные координаты (x_i-1, y_i-1, z_i-1, 1) вектора r _i-1 этой точки A_i в «новой» (i-1)-й системе координат рассчитываются в общем случае по формулам:

(6.1)

где C – символ, обозначающий тригонометрическую функцию «cosines»; – углы, образуемые осями «старой» i-й системы координат с осями «новой» (i-1)-й системы так, что поворот определенной оси (i-1)-й системы до совмещения с соответствующей осью i-й системы должен видеться против часовой стрелки; – координаты начала координат О_i i-й системы в системе координат . Тригонометрические функции называют направляющими косинусами осей i-й системы в (i-1)-й.

Взаиморасположение i-й системы координат относительно (i-1)-й представлено на рисунке 6.14: на рисунке 6.14а показаны координаты х_i-1, у _i-1, z _i-1 и х_i-1, у _i-1, z _i-1, а на рисунке 6.14б, углы , определяющие ориентацию i-го звена, относительно (i-1)-го.

а)

б)

Рис. 6.14. Взаиморасположение i-й и (i-1)-й систем координат

 

Выражение (6.1) можно переписать в матричном виде:

или в векторном ,	(6.2)
где	(6.3)

однородная матрица перехода от системы i к (i-1)-й системе координат.

Матрицу можно представить как блочную матрицу:

	(6.4)
в которой матрица	(6.5)

является матрицей поворота i-й системы координат относительно (i-1)-й и содержит соответствующие направляющие косинусы.

Матрица является матрицей переноса начала координат i-й системы до совмещения с началом (i-1)-й системы координат

.

(6.6)

Переход от одной системы координат к другой с помощью матричного аппарата оказывается удобным средством описания кинематики манипулятора.

Чтобы использовать матричный аппарат преобразования координат для описания кинематики манипуляторов, свяжем по изложенным ранее правилам с каждым i-м звеном манипулятора специальные системы координат, расположенные определенным образом в i-й кинематической паре.

В этом случае переход от i-й системы координат к (i-1)-й с помощью однородной матрицы перехода можно трактовать как пересчет известных координат точки А некоторого i-го звена в новую (i-1)-ю систему координат, связанную с (i-1)-м звеном.

При переходе от i-й системы координат к (i-1)-й полагают, что оси i-й системы, «уходя» от (i-1)-й, из положения, когда они полностью совпадали с
(i-1)-й системой, в положение, которое они занимают, вращались против часовой стрелки относительно соответствующей оси поворота.

Иногда удобно считать, что до совмещения с i-й системой должна перемещаться (i-1)-я система координат до полного совпадения с i-й системой, как бы повторяя перемещения, которые произвела i-я система, «уходя» от (i-1)-й.

В общем случае, чтобы совместить «новое» (i-1)-е положение со «старым» i-м положением системы, используя движение «новой» системы к «старой», необходимо шесть независимых перемещений относительно трех осей координат.

Однако при использовании специальных систем координат и так называемых преобразований Денавита-Хартенберга достаточно четырех перемещений, осуществленных в следующей последовательности (рис. 6.15):

1. Поворот системы (i-1) вокруг оси Z_i-1 против часовой стрелки (если смотреть со стороны оси Z_i-1) на угол до тех пор, пока ось X_i-1 не станет параллельной и однонаправленной с осью X_i.

2. Сдвиг повернутой (i-1)-й системы вдоль оси Z_i-1 на величину S_i до совмещения оси X_i-1 с осью X_i.

3. Сдвиг системы (i-1) вдоль оси X_i на величину a_i до совпадения начал координат систем (i-1) и i.

4. Поворот (i-1)-й системы вокруг оси X_i против часовой стрелки (если смотреть со стороны оси X_i) на угол до совмещения оси Z_i-1 с осью Z_i.

Покажем перечисленные эволюции (i-1)-й системы координат применительно к звеньям манипулятора (рис. 6.15).

 

Рис. 6.15. Преобразования Денавита – Хартенберга

 

Каждое из упомянутых элементарных движений (i-1)-й системы координат описывается соответствующей частной матрицей перехода:

1. Поворот системы (i-1) вокруг оси Z_i-1 на угол :

;

2. Сдвиг по оси Z_i-1 на величину S_i:

;

3. Сдвиг по оси X_i на величину a_i:

;

4. Поворот вокруг оси X_i на угол :

где S есть тригонометрическая функция «sinus».

Результирующая матрица перехода от i-й системы координат к (i-1)-й, то есть матрица, осуществляющая преобразования системы координат i-го звена в систему координат (i-1)-го звена, получается путем перемножения частных матриц перехода:

.

После преобразования результирующая матрица принимает вид:

(6.7)

Заметим, что параметры Θi, S i,, α i,, α i могут принимать и отрицательные значения.

Матрица Ti -1 является матрицей перехода 4×4 к (i-1)-й кинематической паре от i-й пары. Она позволяет найти по формуле (6.7) координаты xi −1, y i −1, z i −1 некоторой точки А_i в системе (i-1) по известным координатам xi −1, y i −1, z i −1 этой точки в i-й системе координат и по известным параметрам Θi, S i,, α i,, α i, а также эта матрица дает возможность определить ориентацию i-го звена относительно (i-1)-го. Для этого обычно используются наддиагональные элементы матрицы Ti -1:

По рисунку 6.15 можно убедиться в достоверности формул для расчета координат , и , а также в равенстве углов и .

 

6.5. Определение ориентации звеньев манипуляторов
с использованием углов Эйлера

Кроме направляющих косинусов, т. е. углов между осями координат X_i-1, Z_i, Y_i-1, Z_i и X_i-1, Y_i при определении ориентации звеньев манипулятора успешно используются углы Эйлера. Существует три системы углов Эйлера (Euler). В кинематике роботов используется система углов Эйлера, которая применяется в теории гироскопов и в астрономии при описании движения космических тел (рис. 6.16а):

1) поворот на угол прецессии Y_I вокруг оси Z_i-1;

2) поворот на угол нутации Q_i вокруг повернутой оси O_iX_i;

3) поворот на угол собственного вращения j_i вокруг повернутой оси O_iZ_i.

Угол прецессии – угол ометания, движения впереди, преддвижения.

Угол нутации – угол колебания оси собственного вращения.

Угол собственного вращения – угол вращения вокруг собственной оси.

Например, при вращении юлы угол Q_i с уменьшением угловой скорости увеличивается и юла падает (рис. 6.16б).

 

Рис. 6.16. Углы Эйлера

 

Перечисленные эволюции i-й системы координат отражаются следующим произведением матриц:

 

Для определения углов Эйлера можно использовать ранее изложенный алгоритм решения прямой задачи кинематики с той разницей, что на заключительном этапе должны быть вычислены значения углов Эйлера из сопоставления соответствующих элементов матриц Т_i-1,i и Е_i-1,, а именно:

1. Рассчитываем матрицу Т_i-1,i, в результате становятся известными численные значения ее элементов.

 

2. Cопоставим те элементы матриц Т_i-1,i и Е_i-1,i, которые наиболее просто позволяют определить углы Эйлера, а именно:

; ;

; ;

; .

Глава 7. Прямая задача кинематики манипуляторов роботов. Абсолютные скорости и ускорения в манипуляционных системах
промышленных роботов

7.1. Теоретические вопросы решения прямой задачи

В принятых нами специальных системах координат ось Z_i всегда направлена:

- во вращательной кинематической паре по оси вращения;

- в поступательной паре параллельно направляющей кинематической паре.

Напомним также, что положение i-го звена относительно (i-1)-го определяется обобщенной координатой q_i.

Если два звена соединены вращательной парой (рис 7.1а), то при вращении i-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров _i, S_i, a_i и a_i переменным будет параметр _i, то есть во вращательной кинематической паре:

q_i = _i, Si = const, a_i = const, a_i = const.

Если два звена соединены поступательной парой (рис. 7.1б), то при перемещении i-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров _i, S_i, a_i и a_i переменным будет параметр S_i, то есть в поступательной паре:

q = S_i, _i = const, a_i = const, a_i = const.

Таким образом, из четырех параметров, ориентирующих i-ю систему координат, а следовательно, и i-е звено относительно (i-1)-го при движении i-го звена относительно (i-1)-го переменным будет один параметр _i или S_i, а три остальных – постоянны.

 

а) б)

Рис. 7.1

 

Для описания кинематики манипулятора целесообразно использовать специальную таблицу кинематических пар, в которой для конкретного манипулятора проставляются определенные значения параметров _i, S_i, a_i, a_i, а переменные параметры, являющиеся обобщенными координатами, отражаются буквой q_i.

 

Таблица кинематических пар манипулятора

Номер (i-1)-й кинематической пары	Тип (i-1)-й кинематической пары	Номер i-го подвижного звена	Параметры кинематической пары
i	Si	ai	ai
. . . n-1	вращательная или поступательная	. . . n

 

Рассмотрим пример манипулятора, образованного последовательностью кинематических пар: вращательная – поступательная – вращательная (рис. 7.2).

 

Рис. 7.2. Специальные системы координат звеньев манипулятора

 

Обоснуем выбор систем координат звеньев манипулятора.

Система О₀X₀Y₀Z₀ выбрана произвольно при обеспечении направления оси Z₀ по оси кинематической пары А₀.

В системе О₁X₁Y₁Z₁: ось Z₁ направлена по направляющей кинематической пары А₁ и совмещена с осью Z₀. Начало координат О₁ может быть выбрано в любой точке оси Z₁ – в нашем случае она совмещена с точкой О₀. Поэтому
S₁ = a₁ = 0, оси Z₀ и Z₁ совпадают, значит a₁ = 0. Переменным является угол ₁, так как звено 1 вращается относительно звена 0, следовательно, q₁ = ₁.

Система координат О₂X₂Y₂Z₂ выбрана по ранее изложенному правилу: так как пара поступательная (звено 2 перемещается относительно звена 1), то расстояние будет переменным, следовательно, . Величины ₂, а₂ и a₂ найдены по общему правилу: , a 0,5 , .

Система О₃X₃Y₃Z₃ выбрана по правилу для действующего n-го (последнего) звена: начало О₃ координат назначено в центре А₃ схвата, ось Х₃ направлена перпендикулярно оси Z₂. Так как пара А₂ вращательная, то переменным параметром будет угол , следовательно, . Параметры S₃, a₃ и a₃ определяются по общему правилу: S₃ = 0 (так как после поворота оси Х₂ на угол оси и совпали), = , a₃ = - 90^o и являются постоянными.

Примечание: и – некоторые фиксированные значения параметров и .

Заполним таблицу кинематических пар для данного манипулятора.

 

Номер (i-1)-й кинематической пары	Тип (i-1)-й кинематической пары	Номер i-го подвижного звена	Параметры кинематической пары
i	Si	ai	ai
	Вращательная		q1
	Поступательная			q2
	Вращательная		q3			-

 

Прямая задача кинематики манипуляторов заключается, как отмечалось, в определении положения его звеньев в неподвижной (инерциальной) системе координат по известным значениям обобщенных координат и при известных значениях кинематических размеров звеньев.

Важным частным видом прямой задачи кинематики манипулятора является определение положения его схвата, закрепленного на последнем n-м звене манипулятора.

Положение схвата в неподвижной системе координат будет определено полностью, если будут известны координаты его центра А_n и ориентация последнего n-го звена в неподвижной системе координат. В нашем случае, когда в центр А_n схвата помещено начало n-й системы координат, для определения положения и ориентации схвата достаточно определить координаты начала n-й системы координат в системе координат, связанной с 0-м звеном.

Запишем формулу (6.2) для n звеньев, как бы «пятясь» от звена n к звену 0.

 

Подставив в последнее равенство последовательно все предыдущие, получим

или в более общем виде , (7.1)

где (7.2)

Каждый элемент матрицы Т_0n содержит информацию о взаиморасположении систем координат О_nX_nY_nZ_n и О₀X₀Y₀Z₀:

Обратим внимание на важное обстоятельство: начало координат n-го звена совпадает с центром схвата. Отсюда вытекает следующее следствие:

, так как .

Таким образом, первые три элемента 4-го столбца матрицы T_0n, а именно элементы представляют собой координаты центра схвата. Это объяснятся еще и тем, что эти элементы, согласно зависимостям (6.3) – (6.6), являются координатами, которые отражают смещение (перенос) начала координат n-й системы относительно 0-й неподвижной системы координат.

В нашем же случае начало координат n-й системы и центр схвата, как отмечалось, совпадают, что и подтверждают равенства:

х = y = z = .

Матрица T_0n по структуре полностью аналогична любой матрице Т_i-1,i (6.7).

Значит, как и в матрице Т_i-1,i, 1-й элемент 2-го столбца и первые два элемента 3-го столбца будут являться направляющими косинусами осей z_n и y_n относительно осей х₀ и y₀, а именно:

; ; .

Теперь можно определить углы между соответствующими осями:

, , .

Именно эти углы применительно к звеньям i-1 и i показаны на рисунке 6.14б.

Перепишем матрицу T_0n, опустив верхние индексы

.

(7.3)

Заметим, что положение схвата в пространстве (координаты его центра А_n и ориентацию n-го звена) мы определяем шестью наддиагональными элементами матрицы T_0n. Таким образом, шесть наддиагональных элементов матрицы T_0n дают полную информацию о положении схвата в пространстве.

Следовательно, отпадает необходимость в использовании формулы (7.1), а достаточно использовать выражение (7.3) в виде

(7.4)

и воспользоваться наддиагональными элементами а₁₂, а₁₃, а₂₃ и а₁₄, а₂₄,а₃₄.

Для определения положения любого промежуточного -го звена манипулятора относительно стойки надо перемножить соответствующее число первых слева матриц перехода, то есть воспользоваться выражением

Наддиагональные элементы дадут искомое решение.

Можно также определить положение любого k-го звена относительно m-го звена (k m) по формуле

.

Заметим, что в силу закона ассоциативности исходные матрицы – сомножители, записанные в порядке возрастания номеров звеньев и пар манипулятора, можно перемножать как справа налево, так и слева направо.

Перемножение справа налево, видимо, более наглядно, т. к. последовательно координаты схвата пересчитываются в предыдущие системы координат: «счет пятясь». Так удобно умножать, когда определяется положение только схвата.

Перемножение слева направо позволяет попутно определить положения всех промежуточных звеньев. Для этого достаточно лишь обеспечить в ходе вычислительного процесса запоминание наддиагональных элементов матриц, получаемых как промежуточные при расчете.