Интегрирование тригонометрических выражений.

Пусть , где и - многочлены от и .

1) Если один из многочленов , четный по , а другой – нечетный по , то подстановка рационализирует интеграл.

2) Если один из многочленов , четный по , а другой – нечетный по , то подстановка рационализирует интеграл.

3) Если оба многочлена четные по и , то подстановка рационализирует интеграл.

3’) Выражения вида , где и - четные. Они сходны с 3 случаем, где

4) Универсальная подстановка.

Рационализация также достигается с помощью подстановки , которая называется универсальной. В самом деле,

; ;

.

5) Выражения вида ; ; . Они рационализируются с помощью перевода в тригонометрические суммы.

 

Билет 36

Тригонометрические подстановки.

Следующие интегралы превращаются в тригонометрические выражения при помощи тригонометрических подстановок:

1. 

1. 

1. 

Пример:

Билет 37

Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.

Пусть задана функция f(x) на отрезке . Составим разбиение R: .

 

 

Это интегральная сумма, соответствующая разбиению R и выбору точек .

Если существует предел при интегральных сумм , и он не зависит от R и , то он называется определенным интегралом Римана.

 

Определение по Коши:

По Гейне:

, где - последовательность разбиений.

Критерий Коши:

 

Билет 38

Ограниченность интегрируемой функции.

Теорема:

Если функция f(x) интегрируема на [a,b] и существует , то функция ограничена на этом отрезке.

Доказательство:

От противного: пусть f(x) неограниченна на [a,b]. Введем произвольное разбиение R: . Т.к. функция неограниченна на [a,b], то она неограниченна хотя бы на одном из отрезков . Пусть - номер того отрезка, на котором функция неограниченна. Тогда рассмотрим интегральную сумму:

- т.е. выделили суммы одно слагаемое. Обозначим , тогда получим:

(следует из неравенства о модулях). Тогда возьмем произвольное N и сделаем разность . Для этого у нас должно быть . У нас функция неограниченна на отрезке , значит . Тогда интегральная сумма будет , т.е. будет являться величиной неограниченной, т.е. не будет существовать ее предела, а значит и , что противоречит условию.

Теорема доказана.

 

 

Билет 39

Суммы Дарбу. Их Свойства.

Определение:

Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.

R: , .

Тогда можем составить выражения:

- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.

, .

 

Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.

R: , .

Тогда можем составить выражения:

- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.

, .

Свойства сумм Дарбу:

1) , для одного и того же разбиения.

2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. - продолжение , если все точки являются точками .

Добавление точек не увеличивает и не уменьшает . Пусть получается из добавлением одной точки.

, ,

,

,

 

Заметим, что если , то и . Отсюда заключаем:

, , , .

3) , ,

,

=> , т.е. .

- нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу). .

- верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). .

.

 

Билет 40